Олимпиадная задача по планиметрии и комбинаторной геометрии для 8–10 классов: точка M между O и H

  Пусть O₁ – середина AC, а O₂ – середина BD. Заметим, что точка M – середина отрезка O₁O₂ (M – центр масс системы 1A, 1B, 1C, 1D. Рассмотрим подсистемы 1A, 1C и 1B, 1D , которые эквивалентны подсистемам 2O₁, 2O₂).

  Четырёхугольник H₁H₂H₃H₄, образованный ортоцентрами, есть параллелограмм, стороны которого лежат на перпендикулярах, проведённых из вершин четырёхугольника к соответствующим диагоналям. Поэтому H – точка пересечения диагоналей этого параллелограмма и делит их пополам (см. рис.).

  Рассмотрим прямуюl, перпендикулярную диагоналиBDи проходящую черезH. Пусть она пересекает отрезокAH₄в точкеK. ТогдаHK– средняя линия треугольникаAH₃H₄и потомуK– серединаAH₄. Следовательно,lсодержит среднюю линию треугольникаAH₄C, и потому проходит черезO₁. Значит,  HO₁||OO₂.   Аналогично  HO₂||OO₁,  то естьHO₁OO₂– параллелограмм, причёмM– точка пересечения его диагоналей, что и требовалось.

Ответ задачи отсутствует