Олимпиадные задачи из источника «Заочный тур»

Две окружности с радиусами 1 и 2 имеют общий центр в точке <i>O</i>. Вершина <i>A</i> правильного треугольника <i>ABC</i> лежит на большей окружности, а середина стороны <i>BC</i> – на меньшей. Чему может быть равен угол <i>BOC</i>?

Пусть <i>O</i> – центр правильного треугольника <i>ABC</i>. Из произвольной точки <i>P</i> плоскости опустили перпендикуляры на стороны треугольника или их продолжения. Обозначим через <i>M</i> точку пересечения медиан треугольника с вершинами в основаниях этих перпендикуляров. Докажите, что <i>M</i> – середина отрезка <i>PO</i>.

Вокруг выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> описаны три прямоугольника. Известно, что два из этих прямоугольников являются квадратами. Верно ли, что и третий обязательно является квадратом? (Прямоугольник описан около четырёхугольника <i>ABCD</i>, если на каждой стороне прямоугольника лежит по одной вершине четырёхугольника.)

Сторону <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> разделили на <i>n</i> равных частей (точки деления  <i>B</i>₀ = <i>A,  B</i>₁, <i>B</i>₂,  <i>B_n = B</i>),  а сторону <i>AC</i> этого треугольника разделили на

<i>n</i> + 1  равных частей (точки деления  <i>C</i>₀ = <i>A,  C</i>₁, <i>C</i>₂, ..., <i>C</i>_<i>n</i>+1 = <i>C</i>).  Закрасили треугольники <i>C_iB_iC</i><sub><i&gt...

Имеются две параллельные прямые <i>p</i>₁ и <i>p</i>₂. Точки <i>A</i> и <i>B</i> лежат на <i>p</i>₁, а <i>C</i> – на <i>p</i>₂. Будем перемещать отрезок <i>BC</i> параллельно самому себе и рассмотрим все треугольники <i>ABC</i>, полученные таким образом. Найдите геометрическое место точек, являющихся в этих треугольниках:

  а) точками пересечения высот;

  б) точками пересечения медиан;

  в) центрами описанных окружностей.

При каком наименьшем n существует выпуклый <i>n</i>-угольник, у которого синусы всех углов равны, а длины всех сторон различны?

Дана окружность и точка <i>К</i> внутри неё. Произвольная окружность, равная данной и проходящая через точку <i>К</i>, имеет с данной окружностью общую хорду. Найдите геометрическое место середин этих хорд.

Разрежьте крест, составленный из пяти одинаковых квадратов, на три многоугольника, равных по площади и периметру.

Хорды <i>AC</i> и <i>BD</i> окружности пересекаются в точке <i>P</i>. Перпендикуляры к <i>AC</i> и <i>BD</i> в точках <i>C</i> и <i>D</i>, соответственно пересекаются в точке <i> Q </i>.

Докажите, что прямые <i>AB</i> и <i>PQ</i> перпендикулярны.

Построить выпуклый четырёхугольник, зная длины всех сторон и отрезка, соединяющего середины диагоналей.

Оклейте куб в один слой пятью равновеликими выпуклыми пятиугольниками.

К граням тетраэдра восстановлены перпендикуляры в их точках пересечения медиан.

Докажите, что проекции трёх перпендикуляров на четвёртую грань пересекаются в одной точке.

Планета "Тетраинкогнито", покрытая "океаном", имеет форму правильного тетраэдра с ребром 900 км.

Какую площадь океана накроет "цунами" через 2 часа после тетратрясения с эпицентром в

  а) центре грани,

  б) середине ребра,

если скорость распространения цунами 300 км/час?

Пусть <i>I</i> – центр сферы, вписанной в тетраэдр <i>ABCD, A', B', C', D'</i> – центры описанных сфер тетраэдров <i>IBCD, ICDA, IDBA, IABC</i> соответственно.

Докажите, что описанная сфера тетраэдра <i>ABCD</i> целиком лежит внутри описанной сферы тетраэдра <i>A'B'C'D'</i>.

  Как известно, Луна вращается вокруг Земли. Будем считать, что Земля и Луна – это точки, а Луна вращается вокруг Земли по круговой орбите с периодом один оборот в месяц. Летающая тарелка находится в плоскости лунной орбиты. Она может перемещаться прыжками через Луну и Землю: из старого места (точки <i>А</i>) она моментально появляется в новом (в точке <i>A'</i>) так, что в середине отрезка <i>АA'</i> находится или Луна, или Земля. Между прыжками летающая тарелка неподвижно висит в космическом пространстве.

  а) Определите, какое минимальное количество прыжков потребуется летающей тарелке, чтобы допрыгнуть из любой точки внутри лунной орбиты до любой другой точки внутри лунной орбиты.

  б) Докажите, что летающая тарелка, используя неогра...

  На плоскости даны три прямые <i>l</i>₁, <i>l</i>₂, <i>l</i>₃, образующие треугольник, и отмечена точка <i>O</i> – центр описанной окружности этого треугольника. Для произвольной точки <i>X</i> плоскости обозначим через <i>X_i</i> точку, симметричную точке <i>X</i> относительно прямой <i>l_i</i>,  <i>i</i> = 1, 2, 3.

  а) Докажите, что для произвольной точки <i>M</i> прямые, соединяющие середины отрезков <i>O</i>₁<i>O</i>₂ и <i>M</i>₁<i>M</i>...

В треугольник <i>АВС</i> вписана окружность и отмечен её центр <i>I</i> и точки касания <i>P, Q, R</i> со сторонами <i>ВС, СА, АВ</i> соответственно. Одной линейкой постройте точку <i>К</i>, в которой окружность, проходящая через вершины <i>В</i> и <i>С</i>, касается (внутренним образом) вписанной окружности.

В остроугольном неравностороннем треугольнике отметили четыре точки: центры вписанной и описанной окружностей, точку пересечения медиан и ортоцентр. Затем сам треугольник стерли. Оказалось, что невозможно установить, какому центру соответствует каждая из отмеченных точек. Найдите углы треугольника.

Дана окружность с центром в начале координат.

Докажите, что найдётся окружность меньшего радиуса, на которой лежит не меньше точек с целыми координатами.

Пусть <i>Р</i> – произвольная точка внутри треугольника <i>АВС</i>. Обозначим через <i>А</i>₁, <i>В</i>₁ и <i>С</i>₁ точки пересечения прямых <i>АР, ВР</i> и <i>СР</i> соответственно со сторонами <i>ВС, СА</i> и <i>АВ</i>. Упорядочим площади треугольников <i>АВ</i>₁<i>С</i>₁, <i>А</i>₁<i>ВС</i>₁, <i>А</i>₁<i>В</i>₁<i>С</i>, обозначив меньшую через <i>S</i>₁, средн...

Дан треугольник <i>АВС</i> и две прямые <i>l</i>₁, <i>l</i>₂. Через произвольную точку <i>D</i> на стороне <i>АВ</i> проводится прямая, параллельная <i>l</i>₁, пересекающая <i>АС</i> в точке <i>Е</i>, и прямая, параллельная <i>l</i>₂, пересекающая <i>ВС</i> в точке <i>F</i>. Построить точку <i>D</i>, для которой отрезок <i>EF</i> имеет наименьшую длину.

Квадрат разрезали на <i>n</i> прямоугольников размером  <i>a_i</i>×<i>b_i</i>,  <i>i</i> = 1, ..., <i>n</i>.

При каком наименьшем <i>n</i> в наборе  {<i>a</i>₁, <i>b</i>₁, ..., <i>a_n, b_n</i>}  все числа могут оказаться различными?

Разрежьте неравносторонний треугольник на четыре подобных треугольника, среди которых не все одинаковы.

Дан треугольник <i>ABC</i>, все углы которого меньше φ, где  φ < ^2π/₃.

Докажите, что в пространстве существует точка, из которой все стороны треугольника <i>ABC</i> видны под углом φ.