Олимпиадные задачи из источника «9 класс»

Точки<i>A</i>и<i>B</i>, лежащие на окружности разбивают её на две дуги. Найдите геометрическое место середин всевозможных хорд, концы которых лежат на разных дугах<i>AB</i>.

Дано, что ни для какой стороны треугольника из проведённых к ней высоты, биссектрисы и медианы нельзя составить треугольник.

Доказать, что один из углов треугольника больше чем 135°.

Пусть <i>P</i> – точка пересечения диагоналей четырёхугольника <i>ABCD, M</i> – точка пересечения прямых, соединяющих середины его противоположных сторон, <i>O</i> – точка пересечения серединных перпендикуляров к диагоналям, <i>H</i> – точка пересечения прямых, соединяющих ортоцентры треугольников <i>APD</i> и <i>BPC, APB</i> и <i>CPD</i>. Доказать, что <i>M</i> – середина <i>OH</i>.

Найти все равнобедренные треугольники, которые нельзя разрезать на три равнобедренных треугольника с одинаковыми боковыми сторонами.

Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность, центр <i>O</i> которой лежит внутри него.

Доказать, что, если  ∠<i>BAO</i> = ∠<i>DAC</i>,  то диагонали четырёхугольника перпендикулярны.