Задача
Требуется заполнить числами квадратную таблицу из n×n клеток так, чтобы сумма чисел на каждой из 4n – 2 диагоналей равнялась 1. Можно ли это сделать при
а) n = 55?
б) n = 1992?
Решение
Докажем, что описанным в условии способом таблицу можно заполнить тогда и только тогда, когда число n нечётно.
Пусть сначала число n = 2k чётно. Раскрасим таблицу в шахматном порядке так, чтобы клетка Раскрасим таблицу в шахматном порядке так, чтобы клетка (1, 1) была чёрной. Найдём сумму чисел в чёрных клетках двумя способами: первый раз, группируя слагаемые по диагоналям, параллельным диагонали (1, 1) – (n, n), и второй раз, группируя слагаемые по диагоналям, параллельным диагонали (1, n) – (n, 1). В первом случае получим n – 1, а во втором – n. Противоречие.
Ниже приведён пример таблицы 5×5 с нужными свойствами. Аналогично строится таблица n×n для любого нечётного n (при n = 1 достаточно поставить в единственную клетку число 1).
Ответ
а) Можно; б) нельзя.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь