Олимпиадные задачи из источника «1992 год» - сложность 3 с решениями
Диагональ <i>AC</i> трапеции <i>ABCD</i> равна боковой стороне <i>CD</i>. Прямая, симметричная <i>BD</i> относительно <i>AD</i>, пересекает прямую <i>AC</i> в точке <i>E</i>.
Докажите, что прямая <i>AB</i> делит отрезок <i>DE</i> пополам.
Докажите, что в прямоугольном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины прямого угла, не превосходит половины проекции гипотенузы на прямую, перпендикулярную этой биссектрисе.
Прибор для сравнения чисел log<i><sub>a</sub>b</i> и log<i><sub>c</sub>d</i> (<i>a, b, c, d</i> > 1) работает по правилам: если <i>b > a</i> и <i>d > c</i>, то он переходит к сравнению чисел log<i><sub>a</sub><sup>b</sup></i>/<sub><i>a</i></sub> и log<i><sub>c</sub><sup>d</sup></i>/<sub><i>c</i></sub> если <i>b < a</i> и <i>d < c</i>, то он переходит к сравнению чисел log<i><sub>d</sub>c</i> и log<i><sub>b</sub>a</i>; если (<i>b − a</i>)(<i>d − c</i>) ≤ 0, т...
Каждая грань выпуклого многогранника – многоугольник с чётным числом сторон.
Обязательно ли его рёбра можно раскрасить в два цвета так, чтобы у каждой грани было поровну рёбер разных цветов?
Докажите, что в выпуклый центрально-симметричный многоугольник можно поместить ромб вдвое меньшей площади.
Каково наименьшее число гирь в наборе, который можно разложить и на 4, и на 5, и на 6 кучек равной массы?
От пирога, имеющего форму выпуклого пятиугольника, можно отрезать треугольный кусок по линии, пересекающей в точках, отличных от вершин, две соседние стороны; от оставшейся части пирога — следующий кусок (таким же образом) и т.д. В какие точки пирога можно воткнуть свечку, чтобы её нельзя было отрезать?
Докажите, что если сумма косинусов углов четырёхугольника равна нулю, то он — параллелограмм, трапеция или вписанный четырёхугольник.
Можно ли <i>n</i> раз рассадить 2<i>n</i> + 1 человека за круглым столом так, чтобы никакие двое не сидели рядом более одного раза, если а) <i>n</i> = 5; б) <i>n</i> = 10?
В центре квадратного пирога находится изюминка. От пирога можно отрезать треугольный кусок по линии, пересекающей в точках, отличных от вершин, две соседние стороны; от оставшейся части пирога — следующий кусок (таким же образом) и т.д. Можно ли отрезать изюминку?
Каких нечётных натуральных чисел <i>n</i> < 10000 больше: тех, для которых число, образованное четырьмя последними цифрами числа <i>n</i><sup>9</sup>, больше <i>n</i>, или тех, для которых оно меньше <i>n</i>?
Можно ли четыре раза рассадить девять человек за круглым столом так, чтобы никакие двое не сидели рядом более одного раза?
Каково наименьшее число гирь в наборе, который можно разложить и на 3, и на 4, и на 5 кучек равной массы?