Олимпиадные задачи из источника «1992 год» для 9 класса
Диагональ <i>AC</i> трапеции <i>ABCD</i> равна боковой стороне <i>CD</i>. Прямая, симметричная <i>BD</i> относительно <i>AD</i>, пересекает прямую <i>AC</i> в точке <i>E</i>.
Докажите, что прямая <i>AB</i> делит отрезок <i>DE</i> пополам.
Докажите, что в прямоугольном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины прямого угла, не превосходит половины проекции гипотенузы на прямую, перпендикулярную этой биссектрисе.
Докажите, что в выпуклый центрально-симметричный многоугольник можно поместить ромб вдвое меньшей площади.
Каково наименьшее число гирь в наборе, который можно разложить и на 4, и на 5, и на 6 кучек равной массы?
От пирога, имеющего форму выпуклого пятиугольника, можно отрезать треугольный кусок по линии, пересекающей в точках, отличных от вершин, две соседние стороны; от оставшейся части пирога — следующий кусок (таким же образом) и т.д. В какие точки пирога можно воткнуть свечку, чтобы её нельзя было отрезать?
Докажите, что если сумма косинусов углов четырёхугольника равна нулю, то он — параллелограмм, трапеция или вписанный четырёхугольник.
Можно ли <i>n</i> раз рассадить 2<i>n</i> + 1 человека за круглым столом так, чтобы никакие двое не сидели рядом более одного раза, если а) <i>n</i> = 5; б) <i>n</i> = 10?
В квадратной таблице из 9×9 клеток отмечены 9 клеток, лежащие на пересечении второй, пятой и восьмой строк со вторым, пятым и восьмым столбцами. Сколькими путями можно из левой нижней клетки попасть в правую верхнюю, двигаясь только по неотмеченным клеткам вверх или вправо?
В центре квадратного пирога находится изюминка. От пирога можно отрезать треугольный кусок по линии, пересекающей в точках, отличных от вершин, две соседние стороны; от оставшейся части пирога — следующий кусок (таким же образом) и т.д. Можно ли отрезать изюминку?
Каких нечётных натуральных чисел <i>n</i> < 10000 больше: тех, для которых число, образованное четырьмя последними цифрами числа <i>n</i><sup>9</sup>, больше <i>n</i>, или тех, для которых оно меньше <i>n</i>?
Каждый участник шахматных соревнований выиграл белыми столько же партий, сколько все остальные вместе взятые – чёрными.
Докажите, что все участники выиграли поровну партий.
Каково наименьшее число гирь в наборе, который можно разложить и на 3, и на 4, и на 5 кучек равной массы?
Каждый участник двухдневной олимпиады в первый день решил столько же задач, сколько все остальные в сумме – во второй день.
Докажите, что все участники решили поровну задач.
Может ли во время шахматной партии на каждой из 30 диагоналей оказаться нечётное число фигур?
Докажите, что если <i>a + b + c + d</i> > 0, <i>a > c</i>, <i>b > d</i>, то |<i>a + b</i>| > |<i>c + d</i>|.