Олимпиадная задача по планиметрии: прямая AB и отрезок DE в трапеции
Задача
Диагональ AC трапеции ABCD равна боковой стороне CD. Прямая, симметричная BD относительно AD, пересекает прямую AC в точке E.
Докажите, что прямая AB делит отрезок DE пополам.
Решение
Через вершину B проведём прямую, параллельную DE. Пусть прямые AD и AE пересекают проведённую прямую в точках F и G соответственно. Поскольку треугольники AFG и ADE подобны, достаточно доказать, что B – середина отрезка FG.
Обозначим ∠ADB = α, ∠CDB = β. Тогда каждый из углов EDA, CBD, CBG, GFA равен α, а ∠CAD = ∠ADC = α + β. Поскольку GAD – внешний угол треугольника AFG, то ∠AGF = ∠GAD – ∠GFA = β.
Отсюда следует равенство треугольников BCG и BCD. Значит, BG = BD. Кроме того, из равенства углов BFD и BDF следует, что BF = BD. Таким образом, BG = BD = BF.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь