Олимпиадные задачи из источника «1992 год» - сложность 4 с решениями
Внутри тетраэдра расположен треугольник, проекции которого на 4 грани тетраэдра имеют площади<i>P</i><sub>1</sub>,<i>P</i><sub>2</sub>,<i>P</i><sub>3</sub>,<i>P</i><sub>4</sub>. Докажите, что а) в правильном тетраэдре<i>P</i><sub>1</sub>≤<i>P</i><sub>2</sub>+<i>P</i><sub>3</sub>+<i>P</i><sub>4</sub>; б) если<i>S</i><sub>1</sub>,<i>S</i><sub>2</sub>,<i>S</i><sub>3</sub>,<i>S</i><sub>4</sub>— площади соответствующих граней тетраэдра, то<i>P</i><sub>1</sub><i>S</i><sub>...
Аладдин побывал во всех точках экватора, двигаясь то на восток, то на запад, а иногда мгновенно перемещаясь в диаметрально противоположную точку Земли. Докажите, что был отрезок времени, за которое разность расстояний, пройденных Аладдином на восток и на запад, не меньше половины длины экватора.