Заметим сначала, что задача а) является частным случаем задачи б). Поэтому мы будем решать задачу б). Пустьv_i — вектор, перпендикулярныйi-й грани тетраэдра, направленный внутрь тетраэдра и равный по модулю площади этой грани,p — вектор, перпендикулярный плоскости данного треугольника и равный по модулю его площади (один из двух). Тогда, по формуле для площади проекции многоугольника,P_iS_i= |(p,v_i)|. Лемма.v₁+v₂+v₃+v₄= 0. Доказательство. Пустьv — некоторый вектор единичной длины, α — перпендикулярная ему плоскость. Тогда число (v,v₁+v₂+v₃+v₄) равно сумме площадей проекций граней тетраэдра на плоскость α, где площадь берётся со знаком "+", если при проекции ориентация не меняется и со знаком "−" в противном случае. А эта сумма площадей равна нулю. Следовательно, для любого вектораvчисло (v,v₁+v₂+v₃+v₄) равно нулю. А значит,v₁+v₂+v₃+v₄= 0. Следовательно,P₁S₁= |(p,v₁)| = |(p,v₂) + (p,v₃) + (p,v₃)| ≤ |(p,v₂)| + |p,v₃)| + |(p,v₃)| =P₂S₂+P₃S₃+P₄S₄, что и требовалось доказать.

Ответ задачи отсутствует