Олимпиадные задачи из источника «9 класс, 1 тур»

Дана последовательность целых чисел, построенная следующим образом:<i>a</i>₁— произвольное трёхзначное число,<i>a</i>₂— сумма квадратов его цифр,<i>a</i>₃— сумма квадратов цифр числа<i>a</i>₂и т.д. Докажите, что в последовательности<i>a</i>₁,<i>a</i>₂,<i>a</i>₃, ...обязательно встретится либо 1, либо 4.

$\Delta$<i>ABC</i>разбит прямой<i>BD</i>на два треугольника. Докажите, что сумма радиусов окружностей, вписанных в$\Delta$<i>ABD</i>и$\Delta$<i>DBC</i>, больше радиуса окружности, вписанной в$\Delta$<i>ABC</i>.

Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle \left\vert\vphantom{ \frac{x-y}{1-xy}}\right.$$\displaystyle {\frac{x-y}{1-xy}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{x-y}{1-xy}}\right\vert$ < 1, </div>если |<i>x</i>| < 1 и |<i>y</i>| < 1.

Даны 3 скрещивающиеся прямые. Докажите, что они будут общими перпендикулярами к своим общим перпендикулярам.

Дана геометрическая прогрессия, знаменатель которой — целое число (не равное 0 и -1). Докажите, что сумма любого числа произвольно выбранных её членов не может равняться никакому члену этой прогрессии.