Задачи и олимпиады по математике

Задача

Дана геометрическая прогрессия, знаменатель которой — целое число (не равное 0 и -1). Докажите, что сумма любого числа произвольно выбранных её членов не может равняться никакому члену этой прогрессии.

Решение

Каждый член геометрической прогрессии представляется в видеaqⁿ,n$\ge$0. Случай, когдаq= 1, очевиден, поэтому будем считать, чтоq ≠ 1. Предположим, что существуют различные целые неотрицательные числаk₁,k₂, ...,k_{m + 1}(m$\ge$2), для которых

aq^k₁ + aq^k₂ + ... + aq^k_m = aq^{k_{m + 1}}. (1)

Пустьl₁<l₂< ... <l_{m + 1}— это числаk₁,k₂, ...,k_{m + 1}, записанные в порядке возрастания. Перепишем равенство (1) в виде

aq^l₁ = ±aq^l₂±...±aq^{l_{m + 1}}.

После сокращения наaq^l₁получим

1 = q^{l₂ - l₁}(1 + q^{l₃ - l₂} + ... + q^{l_{m + 1} - l₂}).

Левая часть равенства равна 1, а правая часть делится на целое числоq^{l₂ - l₁}, абсолютная величина которого строго больше 1. Получено противоречие.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления