Олимпиадные задачи из источника «8 класс, 1 тур»

Два человека <i>A</i> и <i>B</i> должны попасть как можно скорее из пункта <i>M</i> в пункт <i>N</i>, расположенный в 15 км от <i>M</i>. Пешком они могут передвигаться со скоростью 6 км/ч. Кроме того, в их распоряжении есть велосипед, на котором можно ехать со скоростью 15 км/ч. <i>A</i> отправляется в путь пешком, а <i>B</i> едет на велосипеде до встречи с пешеходом <i>C</i>, идущим из <i>N</i> и <i>M</i>. Дальше <i>B</i> идёт пешком, а <i>C</i> едет на велосипеде до встречи с <i>A</i> и передаёт ему велосипед, на котором тот и приезжает в <i>N</i>. Когда должен выйти из <i>N</i> пешеход <i>C</i>, чт...

Докажите тождество <div align="CENTER"><table cellpadding="0" width="95%" align="CENTER"> <tr valign="MIDDLE"> <td width="5%"> </td> <td nowrap align="LEFT">(<i>ax</i> + <i>by</i> + <i>cz</i> + <i>du</i>)² + (<i>bx</i> + <i>cy</i> + <i>dz</i> + <i>au</i>)² + (<i>cx</i> + <i>dy</i> + <i>az</i> + <i>bu</i>)² +</td></tr> <tr valign="MIDDLE"> <td> </td> <td nowrap align="LEFT">+ (<i>dx</i> + <i>ay</i>...

Докажите, что если ортоцентр делит высоты треугольника в одном и том же отношении, то этот треугольник — правильный.

Если все 6 граней параллелепипеда — равные между собой параллелограммы, то они суть ромбы. Докажите.