Олимпиадные задачи из источника «глава 6. Многоугольники» для 2-8 класса - сложность 2-5 с решениями
глава 6. Многоугольники
НазадДоказать, что можно расставить в вершинах правильного <i>n</i>-угольника действительные числа <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x<sub>n</sub></i>, все отличные от 0, так, чтобы для любого правильного <i>k</i>-угольника, все вершины которого являются вершинами исходного <i>n</i>-угольника, сумма чисел, стоящих в его вершинах, равнялась 0.
Докажите, что точки пересечения противоположных сторон (если эти стороны не параллельны) вписанного шестиугольника лежат на одной прямой (Паскаль).
Правильный пятиугольник <i>ABCDE</i>со стороной <i>a</i>вписан в окружность <i>S</i>. Прямые, проходящие через его вершины перпендикулярно сторонам, образуют правильный пятиугольник со стороной <i>b</i>(см. рис.). Сторона правильного пятиугольника, описанного около окружности <i>S</i>, равна <i>c</i>. Докажите, что <i>a</i><sup>2</sup>+<i>b</i><sup>2</sup>=<i>c</i><sup>2</sup>.
<div align="center"><img src="/storage/problem-media/57059/problem_57059_img_2.gif" border="1"></div>
В равностороннем (неправильном) пятиугольнике <i>ABCDE</i>угол <i>ABC</i>вдвое больше угла <i>DBE</i>. Найдите величину угла <i>ABC</i>.
На дуге <i>CD</i>описанной окружности квадрата <i>ABCD</i>взята точка <i>P</i>. Докажите, что <i>PA</i>+<i>PC</i>=$\sqrt{2}$<i>PB</i>.
Биссектриса угла <i>A</i>треугольника <i>ABC</i>пересекает описанную окружность в точке <i>D</i>. Докажите, что <i>AB</i>+<i>AC</i>$\leq$2<i>AD</i>.
Расстояния от центра описанной окружности остроугольного треугольника до его сторон равны <i>d</i><sub>a</sub>,<i>d</i><sub>b</sub>и <i>d</i><sub>c</sub>. Докажите, что <i>d</i><sub>a</sub>+<i>d</i><sub>b</sub>+<i>d</i><sub>c</sub>=<i>R</i>+<i>r</i>.
Из вершин выпуклого четырехугольника опущены перпендикуляры на диагонали. Докажите, что четырехугольник, образованный основаниями перпендикуляров, подобен исходному четырехугольнику.
Докажите, что если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то проекции точки пересечения диагоналей на стороны являются вершинами вписанного четырехугольника.
Докажите, что проекции точки пересечения диагоналей вписанного четырехугольника на его стороны являются вершинами описанного четырехугольника, если только они не попадают на продолжения сторон.
Диагональ <i>AC</i>разбивает четырехугольник <i>ABCD</i>на два треугольника, вписанные окружности которых касаются диагонали <i>AC</i>в одной точке. Докажите, что вписанные окружности треугольников <i>ABD</i>и <i>BCD</i>тоже касаются диагонали <i>BD</i>в одной точке, а точки их касания со сторонами четырехугольника лежат на одной окружности.
Продолжения сторон четырехугольника <i>ABCD</i>, вписанного в окружность с центром <i>O</i>, пересекаются в точках <i>P</i>и <i>Q</i>, а его диагонали пересекаются в точке <i>S</i>. а) Расстояния от точек <i>P</i>,<i>Q</i>и <i>S</i>до точки <i>O</i>равны <i>p</i>,<i>q</i>и <i>s</i>, а радиус описанной окружности равен <i>R</i>. Найдите длины сторон треугольника <i>PQS</i>. б) Докажите, что высоты треугольника <i>PQS</i>пересекаются в точке <i>O</i>.
Четырехугольник <i>ABCD</i>вписанный; <i>H</i><sub>c</sub>и <i>H</i><sub>d</sub> — ортоцентры треугольников <i>ABD</i>и <i>ABC</i>. Докажите, что <i>CDH</i><sub>c</sub><i>H</i><sub>d</sub> — параллелограмм.
Докажите, что точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника совпадает с точкой пересечения диагоналей четырехугольника, вершинами которого служат точки касания сторон исходного четырехугольника с вписанной окружностью.
Окружности<i>S</i><sub>1</sub>и<i>S</i><sub>2</sub>,<i>S</i><sub>2</sub>и<i>S</i><sub>3</sub>,<i>S</i><sub>3</sub>и<i>S</i><sub>4</sub>,<i>S</i><sub>4</sub>и<i>S</i><sub>1</sub>касаются внешним образом. Докажите, что четыре общие касательные (в точках касания окружностей) либо пересекаются в одной точке, либо касаются одной окружности.
Через каждую из точек пересечения продолжений сторон выпуклого четырехугольника<i>ABCD</i>проведено по две прямые. Эти прямые делят четырехугольник на девять четырехугольников. а) Докажите, что если три из четырехугольников, примыкающих к вершинам<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>, описанные, то четвертый четырехугольник тоже описанный. б) Докажите, что если<i>r</i><sub>a</sub>,<i>r</i><sub>b</sub>,<i>r</i><sub>c</sub>,<i>r</i><sub>d</sub> — радиусы окружностей, вписанных в четырехугольники, примыкающие к вершинам<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>, то<div align="CENTER">...
На стороне<i>BC</i>треугольника<i>ABC</i>взяты точки<i>K</i><sub>1</sub>и<i>K</i><sub>2</sub>. Докажите, что общие внешние касательные к вписанным окружностям треугольников<i>ABK</i><sub>1</sub>и<i>ACK</i><sub>2</sub>общие внешние касательные к вписанным окружностям треугольников<i>ABK</i><sub>2</sub>и<i>ACK</i><sub>1</sub>пересекаются в одной точке.
Через точки пересечения продолжений сторон выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>проведены две прямые, делящие его на четыре четырехугольника. Докажите, что если четырехугольники, примыкающие к вершинам <i>B</i>и <i>D</i>, описанные, то четырехугольник <i>ABCD</i>тоже описанный.
Дан выпуклый четырехугольник <i>ABCD</i>. Лучи <i>AB</i>и <i>CD</i>пересекаются в точке <i>P</i>, а лучи <i>BC</i>и <i>AD</i> — в точке <i>Q</i>. Докажите, что четырехугольник <i>ABCD</i>описанный тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий: <i>AB</i>+<i>CD</i>=<i>BC</i>+<i>AD</i>,<i>AP</i>+<i>CQ</i>=<i>AQ</i>+<i>CP</i>или <i>BP</i>+<i>BQ</i>=<i>DP</i>+<i>DQ</i>.
В треугольнике <i>ABC</i>проведены отрезки <i>PQ</i>и <i>RS</i>, параллельные стороне <i>AC</i>, и отрезок <i>BM</i>(рис.). Трапеции <i>RPKL</i>и <i>MLSC</i>описанные. Докажите, что трапеция <i>APQC</i>тоже описанная.
<div align="center"><img src="/storage/problem-media/57016/problem_57016_img_2.gif" border="1"></div>
Углы при основании <i>AD</i>трапеции <i>ABCD</i>равны 2$\alpha$и 2$\beta$. Докажите, что трапеция описанная тогда и только тогда, когда <i>BC</i>/<i>AD</i>=<i>tg</i>$\alpha$<i>tg</i>$\beta$.
Четырехугольник <i>ABCD</i>описан около окружности с центром <i>O</i>. В треугольнике <i>AOB</i>проведены высоты <i>AA</i><sub>1</sub>и <i>BB</i><sub>1</sub>, а в треугольнике <i>COD</i> — высоты <i>CC</i><sub>1</sub>и <i>DD</i><sub>1</sub>. Докажите, что точки <i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>,<i>C</i><sub>1</sub>и <i>D</i><sub>1</sub>лежат на одной прямой.
Окружность высекает на всех четырех сторонах четырехугольника равные хорды. Докажите, что в этот четырехугольник можно вписать окружность.
Докажите, что если существует окружность, касающаяся всех сторон выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>, и окружность, касающаяся продолжений всех его сторон, то диагонали такого четырехугольника перпендикулярны.
Докажите, что если центр вписанной в четырехугольник окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей, то этот четырехугольник — ромб.