Пусть вписанные окружности треугольников ABCи ACDкасаются диагонали ACв точках Mи Nсоответственно. Тогда AM= (AC+AB-BC)/2 и AN= (AC+AD-CD)/2 (см. задачу 3.2). Точки Mи Nсовпадают тогда и только тогда, когда AM=AN, т. е. AB+CD=BC+AD. Итак, если точки Mи Nсовпадают, то четырехугольник ABCDописанный, и аналогичные рассуждения показывают, что точки касания вписанных окружностей треугольников ABDи BCDс диагональю BDсовпадают. Пусть вписанная окружность треугольника ABCкасается сторон AB,BCи CAв точках P,Qи M, а вписанная окружность треугольника ACDкасается сторон AC,CDи DAв точках M,Rи S. Так как AP=AM=ASи CQ=CM=CR, то треугольники APS,BPQ,CQRи DRSравнобедренные; пусть $\alpha$,$\beta$,$\gamma$и $\delta$ — углы при основаниях этих равнобедренных треугольников. Сумма углов этих треугольников равна 2($\alpha$+$\beta$+$\gamma$+$\delta$) +$\angle$A+$\angle$B+$\angle$C+$\angle$D, поэтому $\alpha$+$\beta$+$\gamma$+$\delta$= 180^o. Следовательно, $\angle$SPQ+$\angle$SRQ= 360^o- ($\alpha$+$\beta$+$\gamma$+$\delta$) = 180^o, т. е. четырехугольник PQRSвписанный.

Ответ задачи отсутствует