Олимпиадные задачи из источника «глава 3. Окружности» для 8 класса - сложность 2-4 с решениями

На плоскости даны две неконцентрические окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂. Докажите, что геометрическим местом точек, для которых степень относительно <i>S</i>₁равна степени относительно <i>S</i>₂, является прямая.

Две окружности с центрами <i>O</i>₁и <i>O</i>₂пересекаются в точках <i>A</i>и <i>B</i>. Через точку <i>A</i>проведена прямая, пересекающая первую окружность в точке <i>M</i>₁, а вторую в точке <i>M</i>₂. Докажите, что $\angle$<i>BO</i>₁<i>M</i>₁=$\angle$<i>BO</i>₂<i>M</i>₂.

Три окружности попарно касаются внешним образом в точках <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>ABC</i>перпендикулярна всем трем окружностям.

На диаметре<i>AB</i>окружности<i>S</i>взята точка<i>K</i>и из нее восставлен перпендикуляр, пересекающий<i>S</i>в точке<i>L</i>. Окружности<i>S</i>_Aи<i>S</i>_Bкасаются окружности<i>S</i>, отрезка<i>LK</i>и диаметра<i>AB</i>, а именно,<i>S</i>_Aкасается отрезка<i>AK</i>в точке<i>A</i>₁,<i>S</i>_Bкасается отрезка<i>BK</i>в точке<i>B</i>₁. Докажите, что$\angle$<i>A</i>₁<i>LB</i>₁= 45<sup><tt&gt...

Две окружности, вписанные в сегмент <i>AB</i> данной окружности, пересекаются в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Докажите, что прямая <i>MN</i> проходит через середину <i>C</i> дополнительной дуги данного сегмента <i>AB</i>.

Из точки <i>D</i>окружности <i>S</i>опущен перпендикуляр <i>DC</i>на диаметр <i>AB</i>. Окружность <i>S</i>₁касается отрезка <i>CA</i>в точке <i>E</i>, а также отрезка <i>CD</i>и окружности <i>S</i>. Докажите, что <i>DE</i> — биссектриса треугольника <i>ADC</i>.

Хорда <i>AB</i>разбивает окружность <i>S</i>на две дуги. Окружность <i>S</i>₁касается хорды <i>AB</i>в точке <i>M</i>и одной из дуг в точке <i>N</i>. Докажите, что: а) прямая <i>MN</i>проходит через середину <i>P</i>второй дуги; б) длина касательной <i>PQ</i>к окружности <i>S</i>₁равна <i>PA</i>.

Пусть <i>O</i>_a,<i>O</i>_bи <i>O</i>_c — центры описанных окружностей треугольников <i>PBC</i>,<i>PCA</i>и <i>PAB</i>. Докажите, что если точки <i>O</i>_aи <i>O</i>_bлежат на прямых <i>PA</i>и <i>PB</i>, то точка <i>O</i>_cлежит на прямой <i>PC</i>.

Даны диаметр <i>AB</i>окружности и точка <i>C</i>, не лежащая на прямой <i>AB</i>. С помощью одной линейки (без циркуля) опустите перпендикуляр из точки <i>C</i>на <i>AB</i>, если: а) точка <i>C</i>не лежит на окружности; б) точка <i>C</i>лежит на окружности.

Прямые <i>PC</i>и <i>PD</i>касаются окружности с диаметром <i>AB</i>(<i>C</i>и <i>D</i> — точки касания). Докажите, что прямая, соединяющая <i>P</i>с точкой пересечения прямых <i>AC</i>и <i>BD</i>, перпендикулярна <i>AB</i>.

Точки <i>C</i>и <i>D</i>лежат на окружности с диаметром <i>AB</i>. Прямые <i>AC</i>и <i>BD</i>, <i>AD</i>и <i>BC</i>пересекаются в точках <i>P</i>и <i>Q</i>. Докажите, что <i>AB</i>$\perp$<i>PQ</i>.

Окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂пересекаются в точках <i>A</i>и <i>B</i>, причем центр <i>O</i>окружности <i>S</i>₁лежит на <i>S</i>₂. Прямая, проходящая через точку <i>O</i>, пересекает отрезок <i>AB</i>в точке <i>P</i>, а окружность <i>S</i>₂в точке <i>C</i>. Докажите, что точка <i>P</i>лежит на поляре точки <i>C</i>относительно окружности <i>S</i>₁.

Даны окружность <i>S</i>и прямая <i>l</i>, не имеющие общих точек. Из точки <i>P</i>, движущейся по прямой <i>l</i>, проводятся касательные <i>PA</i>и <i>PB</i>к окружности <i>S</i>. Докажите, что все хорды <i>AB</i>имеют общую точку.

Четырехугольник <i>ABCD</i>вписан в окружность, причем касательные в точках <i>B</i>и <i>D</i>пересекаются в точке <i>K</i>, лежащей на прямой <i>AC</i>. а) Докажите, что <i>AB</i>^.<i>CD</i>=<i>BC</i>^.<i>AD</i>. б) Прямая, параллельная <i>KB</i>, пересекает прямые <i>BA</i>,<i>BD</i>и <i>BC</i>в точках <i>P</i>,<i>Q</i>и <i>R</i>. Докажите, что <i>PQ</i>=<i>QR</i>.

Из точки <i>A</i>проведены касательные <i>AB</i>и <i>AC</i>к окружности и секущая, пересекающая окружность в точках <i>D</i>и <i>E</i>; <i>M</i> — середина отрезка <i>BC</i>. Докажите, что <i>BM</i>²=<i>DM</i>^.<i>ME</i>и угол <i>DME</i>в два раза больше угла <i>DBE</i>или угла <i>DCE</i>; кроме того, $\angle$<i>BEM</i>=$\angle$<i>DEC</i>.

На продолжении хорды <i>KL</i>окружности с центром <i>O</i>взята точка <i>A</i>, и из нее проведены касательные <i>AP</i>и <i>AQ</i>; <i>M</i> — середина отрезка <i>PQ</i>. Докажите, что $\angle$<i>MKO</i>=$\angle$<i>MLO</i>.

Из точки <i>A</i>проведены касательные <i>AB</i>и <i>AC</i>к окружности с центром <i>O</i>. Через точку <i>X</i>отрезка <i>BC</i>проведена прямая <i>KL</i>, перпендикулярная <i>XO</i>(точки <i>K</i>и <i>L</i>лежат на прямых <i>AB</i>и <i>AC</i>). Докажите, что <i>KX</i>=<i>XL</i>.

Три окружности одного радиуса проходят через точку <i>P</i>; <i>A</i>,<i>B</i>и <i>Q</i> — точки их попарного пересечения. Четвертая окружность того же радиуса проходит через точку <i>Q</i>и пересекается с двумя другими в точках <i>C</i>и <i>D</i>. При этом треугольники <i>ABQ</i>и <i>CDP</i>остроугольные, а четырехугольник <i>ABCD</i>выпуклый (рис.). Докажите, что <i>ABCD</i> — параллелограмм.

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/56683/problem_56683_img_2.gif" border="1"></div>

Три равные окружности пересекаются так, как показано на рис., <i>а</i>или <i>б</i>. Докажите, что $\smile$<i>AB</i>₁+$\smile$<i>BC</i>₁±$\smile$<i>CA</i>₁= 180^<tt>o</tt>, где знак минус берется в случае <i>б</i>.

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/56682/problem_56682_img_3.gif" border="1"></div>

Три окружности радиуса <i>R</i>проходят через точку <i>H</i>; <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i> — точки их попарного пересечения, отличные от <i>H</i>. Докажите, что: а) <i>H</i> — точка пересечения высот треугольника <i>ABC</i>; б) радиус описанной окружности треугольника <i>ABC</i>тоже равен <i>R</i>.

а) Три окружности с центрами <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>, касающиеся друг друга и прямой <i>l</i>, расположены так, как показано на рис. Пусть <i>a</i>,<i>b</i>и <i>c</i> — радиусы окружностей с центрами <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>. Докажите, что 1/$\sqrt{c}$= 1/$\sqrt{a}$+ 1/$\sqrt{b}$. б) Четыре окружности попарно касаются внешним образом (в шести различных точках). Пусть <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i> — их радиусы, $\alpha$= 1/<i>a</i>,$\beta$= 1/<i>b</i>,$\gamma$= 1/<i>c</i>и $\delta$= 1/<i>d</i>. Докажите, что2($\alpha^{2}{}$+$\beta^{2}{}$+$\gamma^{2}_{}$+$\delta^{2}$...

Даны четыре окружности <i>S</i>₁,<i>S</i>₂,<i>S</i>₃и <i>S</i>₄, причем окружности <i>S</i>_iи <i>S</i>_{i + 1}касаются внешним образом для <i>i</i>= 1, 2, 3, 4 (<i>S</i>₅=<i>S</i>₁). Докажите, что точки касания образуют вписанный четырехугольник.

На отрезке <i>AB</i>взята точка <i>C</i>. Прямая, проходящая через точку <i>C</i>, пересекает окружности с диаметрами <i>AC</i>и <i>BC</i>в точках <i>K</i>и <i>L</i>, а окружность с диаметром <i>AB</i> — в точках <i>M</i>и <i>N</i>. Докажите, что <i>KM</i>=<i>LN</i>.

Радиусы окружностей <i>S</i>₁и <i>S</i>₂, касающихся в точке <i>A</i>, равны <i>R</i>и <i>r</i>(<i>R</i>><i>r</i>). Найдите длину касательной, проведенной к окружности <i>S</i>₂из точки <i>B</i>окружности <i>S</i>₁, если известно, что <i>AB</i>=<i>a</i>. (Разберите случаи внутреннего и внешнего касания.)

Окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂касаются окружности <i>S</i>внутренним образом в точках <i>A</i>и <i>B</i>, причем одна из точек пересечения окружностей <i>S</i>₁и <i>S</i>₂лежит на отрезке <i>AB</i>. Докажите, что сумма радиусов окружностей <i>S</i>₁и <i>S</i>₂равна радиусу окружности <i>S</i>.