Олимпиадные задачи из источника «глава 28. Инверсия» для 10 класса

Каждая из шести окружностей касается четырех из оставшихся пяти (рис.). Докажите, что для любой пары несоприкасающихся окружностей (из этих шести) их радиусы и расстояние между центрами связаны соотношением<i>d</i>²=<i>r</i>₁²+<i>r</i>₂²±6<i>r</i>₁<i>r</i>₂(к плюск — если окружности не лежат одна внутри другой, к минуск — в противном случае).

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/58359/problem_58359_img_2.gif" border="1"></div>

Докажите, что для двух непересекающихся окружностей <i>R</i>₁и <i>R</i>₂цепочка из <i>n</i>касающихся окружностей (см. предыдущую задачу) существует тогда и только тогда, когда угол между окружностями <i>T</i>₁и <i>T</i>₂, касающимися <i>R</i>₁и <i>R</i>₂в точках их пересечения с прямой, соединяющей центры, равен целому кратному угла360^<tt>o</tt>/<i>n</i>(рис.).

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/58358/problem_58358_img_2.gif" border="1"></div>

Докажите, что если существует цепочка окружностей<i>S</i>₁,<i>S</i>₂,...,<i>S</i>_n, каждая из которых касается двух соседних (<i>S</i>_nкасается <i>S</i>_{n - 1}и <i>S</i>₁) и двух данных непересекающихся окружностей <i>R</i>₁и <i>R</i>₂, то таких цепочек бесконечно много. А именно, для любой окружности <i>T</i>₁, касающейся <i>R</i>₁и <i>R</i>₂(одинаковым образом, если <i>R</i>₁и ...

Окружности<i>S</i>₁,<i>S</i>₂,...,<i>S</i>_nкасаются двух окружностей <i>R</i>₁и <i>R</i>₂и, кроме того,<i>S</i>₁касается <i>S</i>₂в точке <i>A</i>₁,<i>S</i>₂касается <i>S</i>₃в точке <i>A</i>₂...,<i>S</i>_{n - 1}касается <i>S</i>_nв точке<i>A</i>_{n - 1}. Докажите, что точки<i>A</i><sub>1</sub&g...

Пусть на двух пересекающихся прямых <i>l</i>₁и <i>l</i>₂выбраны точки <i>M</i>₁и <i>M</i>₂, не совпадающие с точкой пересечения <i>M</i>этих прямых. Поставим в соответствие им окружность, проходящую через <i>M</i>₁,<i>M</i>₂и <i>M</i>. Если (<i>l</i>₁,<i>M</i>₁), (<i>l</i>₂,<i>M</i>₂), (<i>l</i>₃,<i>M</i>₃) — прямые с выбранными точками в общем положении...

В этой задаче мы будем рассматривать наборы из <i>n</i>прямых общего положения, т. е. наборы, в которых никакие две прямые не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Набору из двух прямых общего положения поставим в соответствие точку — их точку пересечения, а набору из трех прямых общего положения — окружность, проходящую через три точки пересечения. Если <i>l</i>₁,<i>l</i>₂,<i>l</i>₃,<i>l</i>₄ — четыре прямые общего положения, то четыре окружности <i>S</i>_i, соответствующие четырем тройкам прямых, получаемых отбрасыванием прямой <i>l</i>_i, проходят через...

На плоскости взяты шесть точек <i>A</i>₁,<i>A</i>₂,<i>B</i>₁,<i>B</i>₂,<i>C</i>₁,<i>C</i>₂. Докажите, что если окружности, описанные около треугольников<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁,<i>A</i>₁<i>B</i>₂<i>C</i>₂,<i>A</i>₂<i>B</i>₁<i>C</i>₂,<i>A</i><sub>2</su...

На плоскости взяты шесть точек <i>A</i>₁,<i>A</i>₂,<i>A</i>₃,<i>B</i>₁,<i>B</i>₂,<i>B</i>₃. Докажите, что если описанные окружности треугольников<i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>B</i>₃,<i>A</i>₁<i>B</i>₂<i>A</i>₃и <i>B</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃проходят через одну точку, то и описанные окру...

Стороны выпуклого пятиугольника<i>ABCDE</i>продолжили так, что образовалась пятиконечная звезда<i>AHBKCLDMEN</i>(рис.). Около треугольников — лучей звезды описали окружности. Докажите, что пять точек пересечения этих окружностей, отличных от <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>,<i>E</i>, лежат на одной окружности. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/58351/problem_58351_img_2.gif" border="1"></div>

Даны четыре окружности <i>S</i>₁,<i>S</i>₂,<i>S</i>₃,<i>S</i>₄. Пусть <i>S</i>₁и <i>S</i>₂пересекаются в точках <i>A</i>₁и <i>A</i>₂,<i>S</i>₂и <i>S</i>₃ — в точках <i>B</i>₁и <i>B</i>₂,<i>S</i>₃и <i>S</i>₄ — в точках <i>C</i>₁и <i>C</i>₂,&...

Даны четыре окружности, причем окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₃пересекаются с обеими окружностями <i>S</i>₂и <i>S</i>₄. Докажите, что если точки пересечения <i>S</i>₁с <i>S</i>₂и <i>S</i>₃с <i>S</i>₄лежат на одной окружности или прямой, то и точки пересечения <i>S</i>₁с <i>S</i>₄и <i>S</i>₂с <i>S</i>₃лежат на одной окружности или прямой (рис.). <div align="center"&g...

а) Докажите, что окружность, проходящая через середины сторон треугольника, касается его вписанной и трех вневписанных окружностей (Фейербах). б) На сторонах<i>AB</i>и<i>AC</i>треугольника<i>ABC</i>взяты точки<i>C</i>₁и<i>B</i>₁так, что<i>AC</i>₁=<i>B</i>₁<i>C</i>₁и вписанная окружность<i>S</i>треугольника<i>ABC</i>является вневписанной окружностью треугольника<i>AB</i>₁<i>C</i>₁. Докажите, что вписанная окружность треугольника<i>AB</i>₁<i>C</i&gt...

Окружность<i>S</i>_Aпроходит через точки<i>A</i>и<i>C</i>; окружность<i>S</i>_Bпроходит через точки<i>B</i>и<i>C</i>; центры обеих окружностей лежат на прямой<i>AB</i>. Окружность<i>S</i>касается окружностей<i>S</i>_Aи<i>S</i>_B, а кроме того, она касается отрезка<i>AB</i>в точке<i>C</i>₁. Докажите, что<i>CC</i>₁ — биссектриса треугольника<i>ABC</i>.

Две окружности, пересекающиеся в точке <i>A</i>, касаются окружности (или прямой) <i>S</i>₁в точках <i>B</i>₁и <i>C</i>₁, а окружности (или прямой) <i>S</i>₂в точках <i>B</i>₂и <i>C</i>₂(причем касание в <i>B</i>₂и <i>C</i>₂такое же, как в <i>B</i>₁и <i>C</i>₁). Докажите, что окружности, описанные вокруг треугольников<i>AB</i>₁<i>C</i>₁и <i>AB</i><sub...

Через точки <i>A</i>и <i>B</i>проведены окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂, касающиеся окружности <i>S</i>, и окружность <i>S</i>₃, перпендикулярная <i>S</i>. Докажите, что <i>S</i>₃образует равные углы с окружностями <i>S</i>₁и <i>S</i>₂.

Никакие три из четырех точек <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>не лежат на одной прямой. Докажите, что угол между описанными окружностями треугольников<i>ABC</i>и <i>ABD</i>равен углу между описанными окружностями треугольников<i>ACD</i>и <i>BCD</i>.

В сегмент вписываются всевозможные пары пересекающихся окружностей, и для каждой пары через точки их пересечения проводится прямая. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/156701">3.44</a>).

Докажите, что инверсия с центром в вершине <i>A</i>равнобедренного треугольника<i>ABC</i>(<i>AB</i>=<i>AC</i>) и степенью<i>AB</i>²переводит основание<i>BC</i>треугольника в дугу<i>BC</i>описанной окружности.

Найдите множество точек касания пар окружностей, касающихся сторон данного угла в данных точках <i>A</i>и <i>B</i>.

С помощью одного циркуля

  а) постройте точки пересечения данной окружности <i>S</i> и прямой, проходящей через данные точки <i>A</i> и <i>B</i>;

  б) постройте точку пересечения прямых <i>A</i>₁<i>B</i>₁ и <i>A</i>₂<i>B</i>₂, где <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>A</i>₂ и <i>B</i>₂ – данные точки.

С помощью одного циркуля постройте окружность, проходящую через три данные точки.

С помощью одного циркуля постройте окружность, в которую переходит данная прямая<i>AB</i>при инверсии относительно данной окружности с данным центром <i>O</i>.

Постройте с помощью одного циркуля точку, симметричную точке <i>A</i>относительно прямой, проходящей через данные точки <i>B</i>и <i>C</i>.

а) Постройте с помощью одного циркуля отрезок, который в два раза длиннее данного отрезка. б) Постройте с помощью одного циркуля отрезок, который в <i>n</i>раз длиннее данного отрезка.

Проведите через данные точки <i>A</i>и <i>B</i>окружность, пересекающую данную окружность <i>S</i>под углом $\alpha$.