Задача
В этой задаче мы будем рассматривать наборы из nпрямых общего положения, т. е. наборы, в которых никакие две прямые не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Набору из двух прямых общего положения поставим в соответствие точку — их точку пересечения, а набору из трех прямых общего положения — окружность, проходящую через три точки пересечения. Если l1,l2,l3,l4 — четыре прямые общего положения, то четыре окружности Si, соответствующие четырем тройкам прямых, получаемых отбрасыванием прямой li, проходят через одну точку (см. задачу 2.83, а)), которую мы и поставим в соответствие четверке прямых. Эту конструкцию можно продолжить. а) Пусть li,i= 1,..., 5 — пять прямых общего положения. Докажите, что пять точек Ai, соответствующих четверкам прямых, получаемых отбрасыванием прямой li, лежат на одной окружности. б) Докажите, что эту цепочку можно продолжить, поставив в соответствие каждому набору из nпрямых общего положения точку при четном nи окружность при нечетном n, так, что nокружностей (точек), соответствующих наборам изn- 1 прямых, проходят через эту точку (лежат на этой окружности).
Решение
а) Обозначим через Mijточку пересечения прямых liи lj, а через Sij — окружность, соответствующую трем оставшимся прямым. Тогда точка A1является отличной от точки M34точкой пересечения окружностей S15и S12. Повторив это рассуждение для всех точек Ai, получаем, что они в силу задачи 28.32лежат на одной окружности. б) Докажем утверждение задачи по индукции, рассматривая отдельно случай четного и нечетного n. Пусть nнечетно. Обозначим через Aiточку, соответствующую набору изn- 1 прямой, получаемому отбрасыванием прямой li, а через Aijk — точку, соответствующую набору из nданных прямых без прямых li,ljи lk. Аналогично обозначим через Sijи Sijkmокружности, соответствующие наборам изn- 2 и n- 4 прямых, получаемых отбрасыванием прямых li,ljи li,lj,lk,lm. Для того чтобы доказать, что nточекA1,A2,...,Anлежат на одной окружности, достаточно доказать, что любые четыре из них лежат на одной окружности. Докажем это, например, для точек A1,A2,A3и A4. Так как точки Aiи Aijkлежат на Sij, то окружности S12и S23пересекаются в точках A2и A123, окружности S23и S34 — в точках A3и A234, окружности S34и S41 — в точках A4и A134, окружности S41и S12 — в точках A1и A124. Но точки A123,A234,A134и A124лежат на одной окружности — окружности S1234, поэтому согласно задаче 28.31точки A1,A2,A3и A4лежат на одной окружности. Пусть теперь nчетно;Si,Aij,Sijk,Aijkm — окружности и точки, соответствующие наборам изn- 1,n- 2,n- 3 и n- 4 прямых. Для того чтобы доказать, что окружностиS1,S2,...,Snпересекаются в одной точке, покажем, что это верно для любых трех из них. (Этого достаточно приn$\ge$5; см. задачу 26.12.) Докажем, например, что S1,S2и S3пересекаются в одной точке. По определению точек Aijи окружностей Siи Sijkточки A12,A13и A14лежат на окружности S1;A12,A23и A24 — на S2;A13,A14и A34 — на S3;A12,A14и A24 — на S124;A13,A14,A34 — на S134;A23,A24,A34 — на S234. Но три окружности S124,S134и S234проходят через точку A1234поэтому согласно задаче 28.33и окружности S1,S2и S3пересекаются в одной точке.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь