Олимпиадные задачи из источника «параграф 5. Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку»

Пусть на двух пересекающихся прямых <i>l</i>₁и <i>l</i>₂выбраны точки <i>M</i>₁и <i>M</i>₂, не совпадающие с точкой пересечения <i>M</i>этих прямых. Поставим в соответствие им окружность, проходящую через <i>M</i>₁,<i>M</i>₂и <i>M</i>. Если (<i>l</i>₁,<i>M</i>₁), (<i>l</i>₂,<i>M</i>₂), (<i>l</i>₃,<i>M</i>₃) — прямые с выбранными точками в общем положении...

В этой задаче мы будем рассматривать наборы из <i>n</i>прямых общего положения, т. е. наборы, в которых никакие две прямые не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Набору из двух прямых общего положения поставим в соответствие точку — их точку пересечения, а набору из трех прямых общего положения — окружность, проходящую через три точки пересечения. Если <i>l</i>₁,<i>l</i>₂,<i>l</i>₃,<i>l</i>₄ — четыре прямые общего положения, то четыре окружности <i>S</i>_i, соответствующие четырем тройкам прямых, получаемых отбрасыванием прямой <i>l</i>_i, проходят через...

На плоскости взяты шесть точек <i>A</i>₁,<i>A</i>₂,<i>B</i>₁,<i>B</i>₂,<i>C</i>₁,<i>C</i>₂. Докажите, что если окружности, описанные около треугольников<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁,<i>A</i>₁<i>B</i>₂<i>C</i>₂,<i>A</i>₂<i>B</i>₁<i>C</i>₂,<i>A</i><sub>2</su...

На плоскости взяты шесть точек <i>A</i>₁,<i>A</i>₂,<i>A</i>₃,<i>B</i>₁,<i>B</i>₂,<i>B</i>₃. Докажите, что если описанные окружности треугольников<i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>B</i>₃,<i>A</i>₁<i>B</i>₂<i>A</i>₃и <i>B</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃проходят через одну точку, то и описанные окру...

Стороны выпуклого пятиугольника<i>ABCDE</i>продолжили так, что образовалась пятиконечная звезда<i>AHBKCLDMEN</i>(рис.). Около треугольников — лучей звезды описали окружности. Докажите, что пять точек пересечения этих окружностей, отличных от <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>,<i>E</i>, лежат на одной окружности. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/58351/problem_58351_img_2.gif" border="1"></div>

Даны четыре окружности <i>S</i>₁,<i>S</i>₂,<i>S</i>₃,<i>S</i>₄. Пусть <i>S</i>₁и <i>S</i>₂пересекаются в точках <i>A</i>₁и <i>A</i>₂,<i>S</i>₂и <i>S</i>₃ — в точках <i>B</i>₁и <i>B</i>₂,<i>S</i>₃и <i>S</i>₄ — в точках <i>C</i>₁и <i>C</i>₂,&...

Даны четыре окружности, причем окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₃пересекаются с обеими окружностями <i>S</i>₂и <i>S</i>₄. Докажите, что если точки пересечения <i>S</i>₁с <i>S</i>₂и <i>S</i>₃с <i>S</i>₄лежат на одной окружности или прямой, то и точки пересечения <i>S</i>₁с <i>S</i>₄и <i>S</i>₂с <i>S</i>₃лежат на одной окружности или прямой (рис.). <div align="center"&g...