Центр инверсии, переводящей окружности R₁и R₂в концентрические, лежит (см. решение задачи 28.6) на линии их центров. Поэтому, сделав эту инверсию и учтя, что угол между окружностями и касание при этом сохраняется, мы сведем доказательство к случаю концентрических окружностей R₁и R₂с центром Oи радиусами r₁и r₂. Проведем окружность Sс центром Pрадиуса(r₁-r₂)/2, касающуюся R₁изнутри и R₂внешне, и две окружности S'и S''радиуса(r₁+r₂)/2 с центрами Aи B, касающиеся R₁и R₂в их точках пересечения с прямойOP(рис.). ПустьOMи ON — касательные к S, проведенные из O. Очевидно, что цепочка из nокружностей, касающихся R₁и R₂, существует тогда и только тогда, когда уголMONравенm360^o/n(в этом случае окружности цепочки mраз обегают окружность R₂). Поэтому осталось доказать, что угол между окружностями S'и S''равен$\angle$MON. Но угол между S'и S''равен углу между их радиусами, проведенными в точку пересечения C. Кроме того,$\triangle$ACO=$\triangle$PON(так какOP=r₁- (r₁-r₂)/2 = (r₁+r₂)/2 =AC,PN= (r₁-r₂)/2 =r₁- ((r₁+r₂)/2) =OA,$\angle$PNO=$\angle$AOC= 90^o). Поэтому$\angle$ACB= 2$\angle$ACO= 2$\angle$PON=$\angle$NOM.

Ответ задачи отсутствует