Олимпиадные задачи из источника «параграф 6. Цепочки окружностей»

Каждая из шести окружностей касается четырех из оставшихся пяти (рис.). Докажите, что для любой пары несоприкасающихся окружностей (из этих шести) их радиусы и расстояние между центрами связаны соотношением<i>d</i>²=<i>r</i>₁²+<i>r</i>₂²±6<i>r</i>₁<i>r</i>₂(к плюск — если окружности не лежат одна внутри другой, к минуск — в противном случае).

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/58359/problem_58359_img_2.gif" border="1"></div>

Докажите, что для двух непересекающихся окружностей <i>R</i>₁и <i>R</i>₂цепочка из <i>n</i>касающихся окружностей (см. предыдущую задачу) существует тогда и только тогда, когда угол между окружностями <i>T</i>₁и <i>T</i>₂, касающимися <i>R</i>₁и <i>R</i>₂в точках их пересечения с прямой, соединяющей центры, равен целому кратному угла360^<tt>o</tt>/<i>n</i>(рис.).

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/58358/problem_58358_img_2.gif" border="1"></div>

Докажите, что если существует цепочка окружностей<i>S</i>₁,<i>S</i>₂,...,<i>S</i>_n, каждая из которых касается двух соседних (<i>S</i>_nкасается <i>S</i>_{n - 1}и <i>S</i>₁) и двух данных непересекающихся окружностей <i>R</i>₁и <i>R</i>₂, то таких цепочек бесконечно много. А именно, для любой окружности <i>T</i>₁, касающейся <i>R</i>₁и <i>R</i>₂(одинаковым образом, если <i>R</i>₁и ...

Окружности<i>S</i>₁,<i>S</i>₂,...,<i>S</i>_nкасаются двух окружностей <i>R</i>₁и <i>R</i>₂и, кроме того,<i>S</i>₁касается <i>S</i>₂в точке <i>A</i>₁,<i>S</i>₂касается <i>S</i>₃в точке <i>A</i>₂...,<i>S</i>_{n - 1}касается <i>S</i>_nв точке<i>A</i>_{n - 1}. Докажите, что точки<i>A</i><sub>1</sub&g...