Задача
Пусть на двух пересекающихся прямых l1и l2выбраны точки M1и M2, не совпадающие с точкой пересечения Mэтих прямых. Поставим в соответствие им окружность, проходящую через M1,M2и M. Если (l1,M1), (l2,M2), (l3,M3) — прямые с выбранными точками в общем положении, то согласно задаче 2.80, а) три окружности, соответствующие парам (l1,M1) и (l2,M2), (l2,M2) и (l3,M3), (l3,M3) и (l1,M1), пересекаются в одной точке, которую мы поставим в соответствие тройке прямых с точками. а) Пусть l1,l2,l3,l4 — четыре прямые общего положения, на каждой из которых задано по точке, причем эти точки лежат на одной окружности. Докажите, что четыре точки, соответствующие тройкам, получаемым отбрасыванием одной из прямых, лежат на одной окружности. б) Докажите, что каждому набору из nпрямых общего положения с заданными на них точками, лежащими на одной окружности, можно поставить в соответствие точку (при нечетном n) или окружность (при четном n) так, что nокружностей (точек при четном n), соответствующих наборам изn- 1 прямых, проходят через эту точку (лежат на этой окружности при четном n).
Решение
а) Обозначим через Mijточку пересечения прямых liи lj. Тогда точка A1, соответствующая тройке l2,l3,l4, — это точка пересечения описанных окружностей треугольниковM2M3M23и M3M4M34. Рассуждая аналогично для точек A2,A3и A4, мы получим, что точки A1,A2,A3и A4лежат на одной окружности согласно задаче 28.31, так как точки M1,M2,M3,M4лежат на одной окружности. б) Как и в задаче 28.35, б), докажем утверждение по индукции, рассматривая отдельно случаи четного и нечетного n. Пусть nчетно и Ai,Sij,Aijkи Sijkmобозначают точки и окружности, соответствующие наборам изn- 1,n- 2,n- 3 и n- 4 прямых. Докажем, что точки A1,A2,A3,A4лежат на одной окружности. По определению точек Aiи Aijkокружности S12и S23пересекаются в точках A2и A123;S23и S34 — в точках A3и A234;S34и S41 — в точках A4и A134;S41и S12 — в точках A1и A124. Точки A123,A234,A134и A124лежат на окружности S1234, поэтому согласно задаче 28.31точки A1,A2,A3,A4лежат на одной окружности. Аналогично доказывается, что и любые четыре из точек Ai(и, следовательно, все они) лежат на одной окружности. Доказательство в случае нечетногоn$\ge$5 дословно повторяет доказательство утверждения задачи 28.35, б) для случая четного n.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь