Олимпиадные задачи из источника «параграф 4. Сделаем инверсию»
параграф 4. Сделаем инверсию
НазадВ сегмент вписываются всевозможные пары касающихся окружностей. Найдите множество их точек касания.
а) Докажите, что окружность, проходящая через середины сторон треугольника, касается его вписанной и трех вневписанных окружностей (Фейербах). б) На сторонах<i>AB</i>и<i>AC</i>треугольника<i>ABC</i>взяты точки<i>C</i><sub>1</sub>и<i>B</i><sub>1</sub>так, что<i>AC</i><sub>1</sub>=<i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>и вписанная окружность<i>S</i>треугольника<i>ABC</i>является вневписанной окружностью треугольника<i>AB</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>. Докажите, что вписанная окружность треугольника<i>AB</i><sub>1</sub><i>C</i>...
Окружность<i>S</i><sub>A</sub>проходит через точки<i>A</i>и<i>C</i>; окружность<i>S</i><sub>B</sub>проходит через точки<i>B</i>и<i>C</i>; центры обеих окружностей лежат на прямой<i>AB</i>. Окружность<i>S</i>касается окружностей<i>S</i><sub>A</sub>и<i>S</i><sub>B</sub>, а кроме того, она касается отрезка<i>AB</i>в точке<i>C</i><sub>1</sub>. Докажите, что<i>CC</i><sub>1</sub> — биссектриса треугольника<i>ABC</i>.
Две окружности, пересекающиеся в точке <i>A</i>, касаются окружности (или прямой) <i>S</i><sub>1</sub>в точках <i>B</i><sub>1</sub>и <i>C</i><sub>1</sub>, а окружности (или прямой) <i>S</i><sub>2</sub>в точках <i>B</i><sub>2</sub>и <i>C</i><sub>2</sub>(причем касание в <i>B</i><sub>2</sub>и <i>C</i><sub>2</sub>такое же, как в <i>B</i><sub>1</sub>и <i>C</i><sub>1</sub>). Докажите, что окружности, описанные вокруг треугольников<i>AB</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>и <i>AB</i><sub...
Через точки <i>A</i>и <i>B</i>проведены окружности <i>S</i><sub>1</sub>и <i>S</i><sub>2</sub>, касающиеся окружности <i>S</i>, и окружность <i>S</i><sub>3</sub>, перпендикулярная <i>S</i>. Докажите, что <i>S</i><sub>3</sub>образует равные углы с окружностями <i>S</i><sub>1</sub>и <i>S</i><sub>2</sub>.
Никакие три из четырех точек <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>не лежат на одной прямой. Докажите, что угол между описанными окружностями треугольников<i>ABC</i>и <i>ABD</i>равен углу между описанными окружностями треугольников<i>ACD</i>и <i>BCD</i>.
В сегмент вписываются всевозможные пары пересекающихся окружностей, и для каждой пары через точки их пересечения проводится прямая. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/156701">3.44</a>).
Докажите, что инверсия с центром в вершине <i>A</i>равнобедренного треугольника<i>ABC</i>(<i>AB</i>=<i>AC</i>) и степенью<i>AB</i><sup>2</sup>переводит основание<i>BC</i>треугольника в дугу<i>BC</i>описанной окружности.
Найдите множество точек касания пар окружностей, касающихся сторон данного угла в данных точках <i>A</i>и <i>B</i>.