Олимпиадные задачи из источника «глава 22. Выпуклые и невыпуклые многоугольники» для 8 класса

а) Нарисуйте многоугольник и точку <i>O</i>внутри его так, чтобы ни одна сторона не была видна из нее полностью. б) Нарисуйте многоугольник и точку <i>O</i>вне его так, чтобы ни одна сторона не была видна из нее полностью.

Докажите, что симметризация по Штейнеру выпуклого многоугольника является выпуклым многоугольником.

Найдите кривую наименьшей длины, делящую равносторонний треугольник на две фигуры равной площади.

Несамопрересекающаяся ломаная расположена в данной полуплоскости, причём концы ломаной лежат на границе этой полуплоскости. Длина ломаной равна<i>L</i>, а площадь многоугольника, ограниченного ломаной и границей полуплоскости, равна<i>S</i>. Докажите, что<i>S</i>$\le$<i>L</i>²/2$\pi$.

Докажите, что если соответственные стороны выпуклых многоугольников<i>A</i>₁...<i>A</i>_nи<i>B</i>₁...<i>B</i>_nравны, причём многоугольник<i>B</i>₁...<i>B</i>_nвписанный, то его площадь не меньше площади многоугольника<i>A</i>₁...<i>A</i>_n.

Докажите, что площадь круга больше площади любой другой фигуры того же периметра. Другими словами, если площадь фигуры равна<i>S</i>, а её периметр равен<i>P</i>, то<i>S</i>$\le$<i>P</i>²/4$\pi$, причём равенство достигается только в случае круга (<i>изопериметрическое неравенство</i>).

а) Докажите, что среди всех выпуклых четырёхугольников с данными углами и данным периметром наибольшую площадь имеет описанный четырёхугольник. б) Докажите, что среди всех выпуклых<i>n</i>-угольников<i>A</i>₁...<i>A</i>_nс данными величинами углов<i>A</i>_iи данным периметром наибольшую площадь имеет описанный<i>n</i>-угольник.

Докажите, что если выпуклая фигура$\Phi$отлична от круга, то существует фигура$\Phi{^\prime}$, имеющая тот же периметр, что и$\Phi$, но большую площадь.

Докажите, что если какая-либо хорда выпуклой фигуры$\Phi$делит её на две части равного периметра, но разной площади, то существует выпуклая фигура$\Phi{^\prime}$, имеющая тот же периметр, что и$\Phi$, но большую площадь.

Докажите, что если существует фигура$\Phi{^\prime}$, площадь которой не меньше площади фигуры$\Phi$, а периметр — меньше, то существует фигура того же периметра, что и$\Phi$, но большей площади.

Докажите, что для любой невыпуклой фигуры$\Psi$существует выпуклая фигура с меньшим периметром и большей площадью.

а) Докажите, что параллелограмм нельзя покрыть тремя меньшими гомотетичными ему параллелограммами. б) Докажите, что любой выпуклый многоугольник, кроме параллелограмма, можно покрыть тремя меньшими гомотетичными ему многоугольниками.

В окружность вписан выпуклый<i>n</i>-угольник<i>A</i>₁...<i>A</i>_n, причем среди его вершин нет диаметрально противоположных точек. Докажите, что если среди треугольников<i>A</i>_p<i>A</i>_q<i>A</i>_rесть хотя бы один остроугольный, то таких остроугольных треугольников не менее<i>n</i>- 2.

Точка <i>O</i>лежит внутри выпуклого<i>n</i>-угольника<i>A</i>₁...<i>A</i>_n. Докажите, что среди углов<i>A</i>_i<i>OA</i>_jне менее<i>n</i>- 1 не острых.

Дан выпуклый<i>n</i>-угольник, никакие две стороны которого не параллельны. Докажите, что различных треугольников, о которых идет речь в задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/158119">22.8</a>, не менее<i>n</i>- 2.

Докажите, что в любом выпуклом многоугольнике, кроме параллелограмма, можно выбрать три стороны, при продолжении которых образуется треугольник, объемлющий данный многоугольник.

Выпуклый<i>n</i>-угольник разрезан на треугольники непересекающимися диагоналями. Рассмотрим преобразование такого разбиения, при котором треугольники<i>ABC</i>и<i>ACD</i>заменяются на треугольники<i>ABD</i>и<i>BCD</i>. Пусть<i>P</i>(<i>n</i>) — наименьшее число преобразований, за которое любое разбиение можно перевести в любое другое. Докажите, что: а)<i>P</i>(<i>n</i>)$\ge$<i>n</i>- 3; б)<i>P</i>(<i>n</i>)$\le$2<i>n</i>- 7; в)<i>P</i>(<i>n</i>)$\le$2<i>n</i>- 10 при<i>n</i>$\ge$13.

Докажите, что существует такое число <i>N</i>, что среди любых <i>N</i>точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно выбрать 100 точек, являющихся вершинами выпуклого многоугольника.

Выпуклый многоугольник<i>A</i>₁...<i>A</i>_nлежит внутри окружности<i>S</i>₁, а выпуклый многоугольник<i>B</i>₁...<i>B</i>_m— внутри<i>S</i>₂. Докажите, что если эти многоугольники пересекаются, то одна из точек<i>A</i>₁, ...,<i>A</i>_nлежит внутри<i>S</i>₂или одна из точек<i>B</i>₁, ...,<i>B</i>_mлежит внутри<i>S</i>₁.

Назовем выпуклый семиугольник<i>особым</i>, если три его диагонали пересекаются в одной точке. Докажите, что, слегка пошевелив одну из вершин особого семиугольника, можно получить неособый семиугольник.

Среди всех таких чисел <i>n</i>, что любой выпуклый 100-угольник можно представить в виде пересечения (т. е. общей части)<i>n</i>треугольников, найдите наименьшее.

На плоскости дано несколько правильных<i>n</i>-угольников. Докажите, что выпуклая оболочка их вершин имеет не менее <i>n</i>углов.

Внутри квадрата<i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃<i>A</i>₄лежит выпуклый четырёхугольник<i>A</i>₅<i>A</i>₆<i>A</i>₇<i>A</i>₈. Внутри<i>A</i>₅<i>A</i>₆<i>A</i>₇<i>A</i>₈выбрана точка<i>A</i>₉. Никакие три из этих девяти точек не лежат на одной прямой. Докажите, что из этих девяти точек можно выбрать 5 точек, расположенных в вершинах выпуклого пятиугол...

На плоскости дано пять точек, причем никакие три из них не лежат на одной прямой. Докажите, что четыре из этих точек расположены в вершинах выпуклого четырехугольника.

На плоскости дано <i>n</i>точек, причем любые четыре из них являются вершинами выпуклого четырехугольника. Докажите, что эти точки являются вершинами выпуклого<i>n</i>-угольника.