Олимпиадные задачи из источника «глава 19. Гомотетия и поворотная гомотетия» для 10-11 класса

Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все прямые, на которых лежат его стороны, параллельно перенести на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному, причём параллельные стороны окажутся пропорциональными. Доказать, что в данный многоугольник можно вписать окружность.

Имеется два правильных пятиугольника с одной общей вершиной. Вершины каждого пятиугольника нумеруются по часовой стрелке цифрами от 1 до 5, причём в общей вершине ставится цифра 1. Вершины с одинаковыми номерами соединены прямыми. Доказать, что полученные четыре прямые пересекаются в одной точке.

а) Докажите, что прямые, проходящие через вершины треугольника<i>ABC</i>параллельно сторонам треугольника Брокара<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁(через<i>A</i>проходит прямая, параллельная<i>B</i>₁<i>C</i>₁, и т. п.), пересекаются в одной точке<i>S</i>(<i>точка Штейнера</i>), причем эта точка лежит на описанной окружности треугольника<i>ABC</i>. б) Докажите, что прямая Симсона точки Штейнера параллельна диаметру Брокара.

Докажите, что вершинами треугольника Брокара<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁являются точки пересечения окружности Брокара с прямыми, проходящими через точку Лемуана параллельно сторонам треугольника<i>ABC</i>.

Пусть <i>O</i> — центр описанной окружности треугольника<i>ABC</i>,<i>K</i> — точка Лемуана,<i>P</i>и <i>Q</i> — точки Брокара,$\varphi$ — угол Брокара. Докажите, что точки <i>P</i>и <i>Q</i>лежат на окружности с диаметром<i>KO</i>, причем<i>OP</i>=<i>OQ</i>и $\angle$<i>POQ</i>= 2$\varphi$.

Докажите, что окружностью подобия треугольника<i>ABC</i>является окружность с диаметром<i>KO</i>, где <i>K</i> — точка Лемуана,<i>O</i> — центр описанной окружности.

Докажите, что постоянные точки трех подобных фигур являются их соответственными точками.

Докажите, что постоянный треугольник трех подобных фигур подобен треугольнику, образованному их соответственными прямыми, причем эти треугольники противоположно ориентированы.

Пусть <i>l</i>₁,<i>l</i>₂и <i>l</i>₃ — соответственные прямые подобных фигур <i>F</i>₁,<i>F</i>₂и <i>F</i>₃, пересекающиеся в точке <i>W</i>. а) Докажите, что точка <i>W</i>лежит на окружности подобия фигур <i>F</i>₁,<i>F</i>₂и <i>F</i>₃. б) Пусть <i>J</i>₁,<i>J</i>₂и <i>J</i>₃ — точки пересечения прямых <i>l</i>₁,<i...

Пусть<i>A</i>₁<i>B</i>₁,<i>A</i>₂<i>B</i>₂и <i>A</i>₃<i>B</i>₃, а также<i>A</i>₁<i>C</i>₁,<i>A</i>₂<i>C</i>₂и <i>A</i>₃<i>C</i>₃ — соответственные отрезки подобных фигур <i>F</i>₁,<i>F</i>₂и <i>F</i>₃. Докажите, что треугольник, образованный прямыми<i>A</i><su...

Прямые<i>A</i>₂<i>B</i>₂и <i>A</i>₃<i>B</i>₃,<i>A</i>₃<i>B</i>₃и <i>A</i>₁<i>B</i>₁,<i>A</i>₁<i>B</i>₁и <i>A</i>₂<i>B</i>₂пересекаются в точках <i>P</i>₁,<i>P</i>₂,<i>P</i>₃соответственно. а) Докажите, что описанные окружности треугольников<i>A</i><sub>1&lt...

По двум пересекающимся прямым с постоянными, но не равными скоростями движутся точки <i>A</i> и <i>B</i>.

Докажите, что существует такая точка <i>P</i>, что в любой момент времени  <i>AP</i> : <i>BP = k</i>,  где <i>k</i> – отношение скоростей.

Дана полуокружность с диаметром<i>AB</i>. Для каждой точки <i>X</i>этой полуокружности на луче<i>XA</i>откладывается точка <i>Y</i>так, что<i>XY</i>=<i>kXB</i>. Найдите ГМТ <i>Y</i>.

Трапеции<i>ABCD</i>и <i>APQD</i>имеют общее основание<i>AD</i>, причем длины всех их оснований попарно различны. Докажите, что на одной прямой лежат точки пересечения следующих пар прямых: а)<i>AB</i>и <i>CD</i>,<i>AP</i>и <i>DQ</i>,<i>BP</i>и <i>CQ</i>; б)<i>AB</i>и <i>CD</i>,<i>AQ</i>и <i>DP</i>,<i>BQ</i>и <i>CP</i>.

Общие внешние касательные к парам окружностей <i>S</i>₁и <i>S</i>₂,<i>S</i>₂и <i>S</i>₃,<i>S</i>₃и <i>S</i>₁пересекаются в точках <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>соответственно. Докажите, что точки <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>лежат на одной прямой.

Постройте треугольник<i>ABC</i>по сторонам<i>AB</i>и <i>AC</i>и биссектрисе <i>AD</i>.

Впишите в треугольник две равные окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника и другой окружности.

Докажите, что любой выпуклый многоугольник $\Phi$содержит два непересекающихся многоугольника $\Phi_{1}^{}$и $\Phi_{2}^{}$, подобных $\Phi$с коэффициентом 1/2.

Пусть <i>M</i> — центр масс<i>n</i>-угольника<i>A</i>₁...<i>A</i>_n;<i>M</i>₁,...,<i>M</i>_n — центры масс (<i>n</i>- 1)-угольников, полученных из этого<i>n</i>-угольника выбрасыванием вершин<i>A</i>₁,...,<i>A</i>_nсоответственно. Докажите, что многоугольники<i>A</i>₁...<i>A</i>_nи <i>M</i>₁...<i>M</i>_nгомотетичны.