Олимпиадные задачи из источника «глава 13. Векторы» для 4-11 класса - сложность 2-3 с решениями

Решите с помощью псевдоскалярного произведения задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/156779">4.29</a>, б.

По трем прямолинейным дорогам с постоянными скоростями идут три пешехода. В начальный момент времени они не находились на одной прямой. Докажите, что они могут оказаться на одной прямой не более двух раз.

Три бегуна <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>бегут по параллельным дорожкам с постоянными скоростями. В начальный момент площадь треугольника<i>ABC</i>равна 2, через 5 с равна 3. Чему может быть она равна еще через 5 с?

а) Докажите, что<i>S</i>(<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>) = -<i>S</i>(<i>B</i>,<i>A</i>,<i>C</i>) =<i>S</i>(<i>B</i>,<i>C</i>,<i>A</i>). б) Докажите, что для любых точек <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и <i>D</i>справедливо равенство<i>S</i>(<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>) =<i>S</i>(<i>D</i>,<i>A</i>,<i>B</i>) +<i>S</i>(<i>D</i>,<i>B</i>,<i>C</i>) +<i>S</i>(<i>D</i>,<i>C</i>,<i>A</i>).

Пусть<b>a</b>= (<i>a</i>₁,<i>a</i>₂) и <b>b</b>= (<i>b</i>₁,<i>b</i>₂). Докажите, что<b>a</b>$\vee$<b>b</b>=<i>a</i>₁<i>b</i>₂-<i>a</i>₂<i>b</i>₁.

Докажите, что: а)($\lambda$<b>a</b>)$\vee$<b>b</b>=$\lambda$(<b>a</b>$\vee$<b>b</b>); б)<b>a</b>$\vee$(<b>b</b>+<b>c</b>) =<b>a</b>$\vee$<b>b</b>+<b>a</b>$\vee$<b>c</b>.

Точка <i>X</i>лежит внутри треугольника<i>ABC</i>,$\alpha$=<i>S</i>_BXC,$\beta$=<i>S</i>_CXAи $\gamma$=<i>S</i>_AXB. Пусть <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁ — проекции точек <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>на произвольную прямую <i>l</i>. Докажите, что длина вектора$\alpha$$\overrightarrow{AA_1}$+$\beta$$\overrightarrow{BB_1}$+$\gamma$$\overrightarrow{CC_1}$равна($\alpha$+$\beta$+$\gamma$)<i>d</i>, где <i>d</i> — расстояние от точки <i>X</i>до прямой <i>l</i>.

Четырехугольник<i>ABCD</i>вписанный. Пусть <i>H</i>_a — ортоцентр треугольника<i>BCD</i>,<i>M</i>_a — середина отрезка<i>AH</i>_a; точки <i>M</i>_b,<i>M</i>_cи <i>M</i>_dопределяются аналогично. Докажите, что точки <i>M</i>_a,<i>M</i>_b,<i>M</i>_cи <i>M</i>_dсовпадают.

На сторонах<i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника<i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Отрезки<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁,<i>CC</i>₁и<i>AA</i>₁,<i>AA</i>₁и <i>BB</i>₁пересекаются в точках <i>A</i>₂,<i>B</i>₂и <i>C</i>₂соответственно. Докажите, что если$\overrightarrow{AA_2}$+$\overrightarrow{BB_2}$+$\overrightarrow{...

Через точку <i>M</i>пересечения медиан треугольника<i>ABC</i>проведена прямая, пересекающая прямые<i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>в точках <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Докажите, что(1/$\overline{MA_1}$) + (1/$\overline{MB_1}$) + (1/$\overline{MC_1}$) = 0 (отрезки<i>MA</i>₁,<i>MB</i>₁и <i>MC</i>₁считаются ориентированными).

Точки <i>A</i>и <i>B</i>движутся по двум фиксированным лучам с общим началом <i>O</i>так, что величина${\frac{p}{OA}}$+${\frac{q}{OB}}$остается постоянной. Докажите, что прямая<i>AB</i>при этом проходит через фиксированную точку.

Внутри треугольника<i>ABC</i>взята точка <i>O</i>. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>S</i>_BOC^.$\displaystyle \overrightarrow{OA}$ + <i>S</i>_AOC^.$\displaystyle \overrightarrow{OB}$ + <i>S</i>_AOB^.$\displaystyle \overrightarrow{OC}$ = $\displaystyle \overrightarrow{0}$. </div>

Дано восемь вещественных чисел<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>,<i>e</i>,<i>f</i>,<i>g</i>,<i>h</i>. Докажите, что хотя бы одно из шести чисел<i>ac</i>+<i>bd</i>,<i>ae</i>+<i>bf</i>,<i>ag</i>+<i>bh</i>,<i>ce</i>+<i>df</i>,<i>cg</i>+<i>dh</i>,<i>eg</i>+<i>fh</i>неотрицательно.

Точки<i>A</i>₁,...,<i>A</i>_nлежат на окружности с центром <i>O</i>, причем$\overrightarrow{OA_1}$+...+$\overrightarrow{OA_n}$=$\overrightarrow{0}$. Докажите, что для любой точки <i>X</i>справедливо неравенство<i>XA</i>₁+...+<i>XA</i>_n$\ge$<i>nR</i>, где <i>R</i> — радиус окружности.

Десять векторов таковы, что длина суммы любых девяти их них меньше длины суммы всех десяти векторов. Докажите, что существует ось, проекция на которую каждого из десяти векторов положительна.

Докажите, что из пяти векторов всегда можно выбрать два так, чтобы длина их суммы не превосходила длины суммы оставшихся трех векторов.

Даны точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и <i>D</i>. Докажите, что<i>AB</i>²+<i>BC</i>²+<i>CD</i>²+<i>DA</i>²$\ge$<i>AC</i>²+<i>BD</i>², причем равенство достигается, только если<i>ABCD</i> — параллелограмм.

Точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и <i>D</i>таковы, что для любой точки <i>M</i>числа($\overrightarrow{MA}$,$\overrightarrow{MB}$) и ($\overrightarrow{MC}$,$\overrightarrow{MD}$) различны. Докажите, что$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{DB}$.

Дан четырехугольник<i>ABCD</i>. Пусть<i>u</i>=<i>AD</i>²,<i>v</i>=<i>BD</i>²,<i>w</i>=<i>CD</i>²,<i>U</i>=<i>BD</i>²+<i>CD</i>²-<i>BC</i>²,<i>V</i>=<i>AD</i>²+<i>CD</i>²-<i>AC</i>²,<i>W</i>=<i>AD</i>²+<i>BD</i>²-<i>AB</i>². Докажите, что<i>uU</i>²+<i>vV&l...

Пусть<b>a</b>₁,...,<b>a</b>_n — векторы сторон<i>n</i>-угольника,$\varphi_{ij}^{}$=$\angle$(<b>a</b>_i,<b>a</b>_j). Докажите, что<i>a</i>₁²=<i>a</i>₂²+...+<i>a</i>_n²+ 2$\sum\limits_{i>j>1}^{}$<i>a</i>_i<i>a</i>_jcos$\varphi_{ij}^{}$, где<i>a</i>_i= |<b>a</b>_i|.

Пусть<i>A</i>₁...<i>A</i>_n— правильный<i>n</i>-угольник,<i>X</i>— произвольная точка. Рассмотрим проекции<i>X</i>₁, ...,<i>X</i>_nточки<i>X</i>на прямые<i>A</i>₁<i>A</i>₂, ...,<i>A</i>_n<i>A</i>₁. Пусть<i>x</i>_i— длина отрезка<i>A</i>_i<i>X</i>_iс учётом знака (знак плюс берётся в случае, когда лучи<i>A</i>_i<i>X</i><sub>i</su...

Докажите, что<i>OH</i>²=<i>R</i>²(1 - 8 cos$\alpha$cos$\beta$cos$\gamma$).

Пусть <i>O</i> — центр описанной окружности треугольника<i>ABC</i>, а точка <i>H</i>обладает тем свойством, что$\overrightarrow{OH}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$. Докажите, что <i>H</i> — точка пересечения высот треугольника<i>ABC</i>.

а) Пусть<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и <i>D</i> — произвольные точки плоскости. Докажите, что($\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{CD}$) + ($\overrightarrow{BC}$,$\overrightarrow{AD}$) + ($\overrightarrow{CA}$,$\overrightarrow{BD}$) = 0. б) Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Докажите, что если диагонали четырехугольника<i>ABCD</i>перпендикулярны, то и диагонали любого другого четырехугольника с такими же длинами сторон перпендикулярны.