Задача
Даны точки A,B,Cи D. Докажите, чтоAB2+BC2+CD2+DA2$\ge$AC2+BD2, причем равенство достигается, только еслиABCD — параллелограмм.
Решение
Пустьa=$\overrightarrow{AB}$,b=$\overrightarrow{BC}$и c=$\overrightarrow{CD}$. Тогда$\overrightarrow{AD}$=a+b+c,$\overrightarrow{AC}$=a+bи $\overrightarrow{BD}$=b+c. Ясно также, что|a|2+ |b|2+ |c|2+ |a+b+c|2- |a+b|2- |b+c|2= |a|2+ 2(a,c) + |c|2= |a+c|2$\ge$0. Равенство достигается, только еслиa= -c, т. е.ABCD — параллелограмм.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет