Задача
Докажите, что если диагонали четырехугольникаABCDперпендикулярны, то и диагонали любого другого четырехугольника с такими же длинами сторон перпендикулярны.
Решение
Пустьa=$\overrightarrow{AB}$,b=$\overrightarrow{BC}$,c=$\overrightarrow{CD}$и d=$\overrightarrow{DA}$. Достаточно проверить, чтоAC$\perp$BDтогда и только тогда, когдаa2+c2=b2+d2. Ясно, чтоd2= |a+b+c|2=a2+b2+c2+ 2[(a,b) + (b,c) + (c,a)]. Поэтому условиеAC$\perp$BD, т. е.0 = (a+b,b+c) =b2+ (b,c) + (a,c) + (a,b), эквивалентно тому, чтоd2=a2+b2+c2- 2b2.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет