Задача
Точки A,B,Cи Dтаковы, что для любой точки Mчисла($\overrightarrow{MA}$,$\overrightarrow{MB}$) и ($\overrightarrow{MC}$,$\overrightarrow{MD}$) различны. Докажите, что$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{DB}$.
Решение
Фиксируем произвольную точку O. Пустьm=$\overrightarrow{OM}$,a=$\overrightarrow{OA}$,...,d=$\overrightarrow{OD}$. Тогда($\overrightarrow{MA}$,$\overrightarrow{MB}$) - ($\overrightarrow{MC}$,$\overrightarrow{MD}$) = (a-m,b-m) - (c-m,d-m) = (c+d-a-b,m) + (a,b) - (c,d). Еслиv=c+d-a-b$\ne$0, то когда точка Mпробегает всю плоскость, величина(v,m) принимает все действительные значения, в частности, она принимает значение(c,d) - (a,b). Следовательно,v= 0, т. е.$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$, а значит,$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{DB}$.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь