Задача
а) ПустьA,B,Cи D — произвольные точки плоскости. Докажите, что($\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{CD}$) + ($\overrightarrow{BC}$,$\overrightarrow{AD}$) + ($\overrightarrow{CA}$,$\overrightarrow{BD}$) = 0. б) Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Решение
а) Выразим все входящие в указанную формулу векторы через$\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{BC}$и $\overrightarrow{CD}$, т. е. запишем$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CD}$,$\overrightarrow{CA}$= -$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{BC}$и $\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CD}$. После сокращения получим требуемое. б) Пусть D — точка пересечения высот, проведенных из вершин Aи CтреугольникаABC. Тогда в доказанной в задаче а) формуле первые два слагаемых нулевые, поэтому последнее слагаемое тоже нулевое, т. е.BD$\perp$AC.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь