Олимпиадные задачи из источника «глава 10. Неравенства для элементов треугольника» для 6-8 класса - сложность 3-5 с решениями

Докажите, что треугольник <i>ABC</i>остроугольный тогда и только тогда, когда длины его проекций на три различных направления равны.

Докажите, что треугольник<i>ABC</i>остроугольный тогда и только тогда, когда на его сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>можно выбрать такие внутренние точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁, что <i>AA</i>₁=<i>BB</i>₁=<i>CC</i>₁.

Докажите, что треугольник остроугольный тогда и только тогда, когда <i>p</i>> 2<i>R</i>+<i>r</i>.

Докажите, что треугольник со сторонами <i>a</i>,<i>b</i>и <i>c</i>остроугольный тогда и только тогда, когда <i>a</i>²+<i>b</i>²+<i>c</i>²> 8<i>R</i>².

На сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>остроугольного треугольника <i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Докажите, что<div align="CENTER"> 2(<i>B</i>₁<i>C</i>₁cos$\displaystyle \alpha$ + <i>C</i>₁<i>A</i>₁cos$\displaystyle \beta$ + <i>A</i>₁<i>B</i>₁cos$\displaystyle \gamma$) $\displaystyle \geq$ <i>a</i> cos$\displaystyle \alpha$ + <i>b</i> cos$\displaystyle \beta$ + <i&g...

Пусть <i>h</i> — наибольшая высота нетупоугольного треугольника. Докажите, что <i>r</i>+<i>R</i>$\leq$<i>h</i>.

Пусть$\angle$<i>A</i><$\angle$<i>B</i><$\angle$<i>C</i>< 90^<tt>o</tt>. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника<i>ABC</i>лежит внутри треугольника<i>BOH</i>, где<i>O</i> — центр описанной окружности,<i>H</i> — точка пересечения высот.

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i>проведены высоты <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁. Докажите, что периметр треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁не превосходит половины периметра треугольника <i>ABC</i>.

Докажите, что если в остроугольном треугольнике <i>h</i>_a=<i>l</i>_b=<i>m</i>_c, то этот треугольник равносторонний.

Докажите, что если треугольник не тупоугольный, то <i>m</i>_a+<i>m</i>_b+<i>m</i>_c$\geq$4<i>R</i>.

Докажите, что для остроугольного треугольника<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{1}{l_a}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{l_b}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{l_c}}$ $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \sqrt{2}$$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\right.$$\displaystyle {\frac{1}{a}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{b}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{c}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\right)$. </div>

Докажите, что для остроугольного треугольника<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{m_a}{h_a}}$ + $\displaystyle {\frac{m_b}{h_b}}$ + $\displaystyle {\frac{m_c}{h_c}}$ $\displaystyle \leq$ 1 + $\displaystyle {\frac{R}{r}}$. </div>

<i>ABC</i>- прямоугольный треугольник с прямым углом<i>C</i>. Докажите, что <i>m</i>_a²+<i>m</i>_b²> 29<i>r</i>².

<i>ABC</i>- прямоугольный треугольник с прямым углом<i>C</i>. Докажите, что <i>c</i>/<i>r</i>$\geq$2(1 +$\sqrt{2}$).

Докажите, что для прямоугольного треугольника0, 4 <<i>r</i>/<i>h</i>< 0, 5, где <i>h</i> — высота, опущенная из вершины прямого угла.

Даны треугольник <i>ABC</i>со сторонами <i>a</i>><i>b</i>><i>c</i>и произвольная точка <i>O</i>внутри его. Пусть прямые <i>AO</i>,<i>BO</i>,<i>CO</i>пересекают стороны треугольника в точках <i>P</i>,<i>Q</i>,<i>R</i>. Докажите, что <i>OP</i>+<i>OQ</i>+<i>OR</i><<i>a</i>.

Внутри окружности расположен выпуклый пятиугольник. Докажите, что хотя бы одна из его сторон не больше стороны правильного пятиугольника, вписанного в эту окружность.

Внутри сектора <i>AOB</i>круга радиуса <i>R</i>=<i>AO</i>=<i>BO</i>лежит отрезок <i>MN</i>. Докажите, что <i>MN</i>$\leq$<i>R</i>или <i>MN</i>$\leq$<i>AB</i>. (Предполагается, что $\angle$<i>AOB</i>< 180^<tt>o</tt>.)

Докажите, что:

  а)   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/57463/problem_57463_img_2.gif">   б)   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/57463/problem_57463_img_3.gif">

Докажите, что <i>r</i>_a²+<i>r</i>_b²+<i>r</i>_c²$\geq$27<i>R</i>²/4.

Докажите, что 16<i>Rr</i>- 5<i>r</i>²$\leq$<i>p</i>²$\leq$4<i>R</i>²+ 4<i>Rr</i>+ 3<i>r</i>².

Докажите, что а) 5<i>R</i>-<i>r</i>$\geq$$\sqrt{3}$<i>p</i>; б) 4<i>R</i>-<i>r</i>_a$\geq$(<i>p</i>-<i>a</i>)[$\sqrt{3}$+ (<i>a</i>²+ (<i>b</i>-<i>c</i>)²)/(2<i>S</i>)].

Докажите, что3$\left(\vphantom{\frac{a}{r_a}+\frac{b}{r_b}+\frac{c}{r_c}}\right.$${\frac{a}{r_a}}$+${\frac{b}{r_b}}$+${\frac{c}{r_c}}$$\left.\vphantom{\frac{a}{r_a}+\frac{b}{r_b}+\frac{c}{r_c}}\right)$$\geq$4$\left(\vphantom{\frac{r_a}{a}+\frac{r_b}{b}+\frac{r_c}{c}}\right.$${\frac{r_a}{a}}$+${\frac{r_b}{b}}$+${\frac{r_c}{c}}$$\left.\vphantom{\frac{r_a}{a}+\frac{r_b}{b}+\frac{r_c}{c}}\right)$.

Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутри треугольника до его вершин не меньше 6<i>r</i>.

Пусть <i>O</i> — центр вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>, причем <i>OA</i>$\geq$<i>OB</i>$\geq$<i>OC</i>. Докажите, что <i>OA</i>$\geq$2<i>r</i>и <i>OB</i>$\geq$<i>r</i>$\sqrt{2}$.