Задача
Внутри сектора AOBкруга радиуса R=AO=BOлежит отрезок MN. Докажите, что MN$\leq$Rили MN$\leq$AB. (Предполагается, что $\angle$AOB< 180o.)
Решение
Отрезок можно продолжить до пересечения с границей сектора, так как при этом его длина только увеличится. Поэтому можно считать, что точки Mи Nлежат на границе сектора. Возможны три случая.
- Точки Mи Nлежат на дуге окружности. Тогда MN= 2Rsin(MON/2)$\leq$2Rsin(AOB/2) =AB, так как $\angle$MON/2$\leq$$\angle$AOB/2$\leq$90o.
- Точки Mи Nлежат на отрезках AOи BO. Тогда MNне превосходит наибольшей стороны треугольника AOB.
- Одна из точек Mи Nлежит на дуге окружности, а другая — на отрезке AOили BO. Пусть для определенности Mлежит на AO, а N — на дуге окружности. Тогда MNне превосходит наибольшей стороны треугольника ANO. Остается заметить, что AO=NO=Rи AN$\leq$AB.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет