Олимпиадные задачи из источника «Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В., Ленинградские математические кружки» для 8 класса

Найдите наименьшее натуральное значение <i>n</i>, при котором число <i>n</i>! делится на 990.

Мальчик Стёпа говорит: позавчера мне было 10 лет, а в следующем году мне исполнится 13. Может ли такое быть?

Сколькими способами можно расставить чёрную и белую ладьи на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?

На прямой сидят три кузнечика, каждую секунду прыгает один кузнечик. Он прыгает через какого-нибудь кузнечика (но не через двух сразу).

Докажите, что через 1985 секунд они не могут вернуться в исходное положение.

На острове Серобуромалин обитают 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Если встречаются два хамелеона разного цвета, то они одновременно меняют свой цвет на третий (серый и бурый становятся оба малиновыми и т.п.). Может ли случиться так, что через некоторое время все хамелеоны будут одного цвета?

Из шахматной доски вырезали две клетки – a1 и h8. Можно ли оставшуюся часть доски покрыть 31 косточкой домино так, чтобы каждая косточка покрывала ровно две клетки доски?

Докажите, что   ½ – &frac13; + ¼ – &frac15; + ... + ¹/₉₈ – ¹/₉₉ + ¹/₁₀₀ > &frac15;.

В узлах клетчатой плоскости отмечено пять точек. Доказать, что есть две из них, середина отрезка между которыми тоже попадает в узел.

Найти все пары целых чисел  (<i>x, y</i>),  удовлетворяющие уравнению   3·2^<i>x</i> + 1 = <i>y</i>².

Доказать, что никакая степень числа 2 не оканчивается четырьмя одинаковыми цифрами.

<i>a, b, c</i> – такие три числа, что  <i>a + b + c</i> = 0.  Доказать, что в этом случае справедливо соотношение  <i>ab + ac + bc</i> ≤ 0.

Доказать, что существует бесконечно много чисел, не представимых в виде суммы трёх кубов.

В плоскости расположено 11 шестерёнок таким образом, что первая сцеплена со второй, вторая – с третьей, ..., одиннадцатая – с первой.

Могут ли они вращаться?

Докажите, что выпуклый 13-угольник нельзя разрезать на параллелограммы.

Найти остаток от деления на 7 числа  10¹⁰ + 10^10² + 10^10³ + ... + 10^10¹⁰.

Прямоугольная шоколадка размером 5×10 разбита продольными и поперечными углублениями на 50 квадратных долек. Двое играют в такую игру. Начинающий разламывает шоколадку по некоторому углублению на две прямоугольные части и кладёт на стол полученные части. Затем игроки по очереди делают аналогичные операции: каждый раз очередной игрок разламывает одну из частей на две части. Тот, кто первый отломит квадратную дольку (без углублений),<nobr>а) проигрывает;</nobr><nobr>б) выигрывает.</nobr>Кто из играющих может обеспечить себе выигрыш: начинающий или его партнёр?

Докажите, что если   <i>a</i>₁ ≥ <i>a</i>₂ ≥ ... ≥ <i>a_n</i>,   <i>b</i>₁ ≥ <i>b</i>₂ ≥ ... ≥ <i>b_n</i>,   то наибольшая из сумм вида   <i>a</i>₁<i>b</i>_<i>k</i>₁ + <i>a</i>₂<i>b</i>_<i>k</i>₂ + ... + <i>a_nb_{k_n}</i>     (<i>k</i>₁, <i>k</i><sub>2&lt...

Докажите неравенство   (<i>a + b + c + d</i> + 1)² ≥ 4(<i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² + <i>d</i>²)  при  <i>a, b, c, d</i> ∈ [0, 1].

Докажите, что если число  <i>n</i>! + 1  делится на  <i>n</i> + 1,  то  <i>n</i> + 1  – простое число.

Сколько диагоналей имеет выпуклый:

а) 10-угольник;   б) <i>k</i>-угольник  (<i>k</i> > 3)?

Назовём натуральное число "симпатичным", если в его записи встречаются только нечётные цифры.

Сколько существует четырёхзначных "симпатичных" чисел?

Сколько существует девятизначных чисел, сумма цифр которых чётна?

  а) Каких чисел больше среди целых чисел первой тысячи (включая и 1000): в записи которых есть единица, или остальных?   б) Каких семизначных чисел больше: тех, в записи которых есть единица, или остальных?

Сколько существует десятизначных чисел, в записи которых имеется хотя бы две одинаковые цифры?

Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна чётная цифра?