Олимпиадные задачи из источника «глава 4. Делимость и остатки»

Найдите наименьшее натуральное значение <i>n</i>, при котором число <i>n</i>! делится на 990.

Докажите, что если число  <i>n</i>! + 1  делится на  <i>n</i> + 1,  то  <i>n</i> + 1  – простое число.

Найдите  НОД(111...111, 11...11)  – в записи первого числа 100 единиц, в записи второго – 60.

Найдите НОД(2¹⁰⁰ – 1, 2¹²⁰ – 1).

Докажите, что дробь <img width="41" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30412/problem_30412_img_2.gif"> несократима ни при каком натуральном <i>n</i>.

Найти наибольший общий делитель чисел  2<i>n</i> + 13  и  <i>n</i> + 7.

Докажите, что существует бесконечно много простых чисел.

Докажите, что существует такое натуральное <i>n</i>, что числа  <i>n</i> + 1,  <i>n</i> + 2,  ...,  <i>n</i> + 1989  – составные.

Найдите наименьшее число, дающее следующие остатки: 1 – при делении на 2, 2 – при делении на 3, 3 – при делении на 4, 4 – при делении на 5, 5 – при делении на 6.

Докажите, что сумма <i>n</i> последовательных нечётных натуральных чисел при  <i>n</i> > 1  является составным числом.

Про семь натуральных чисел известно, что сумма любых шести из них делится на 5. Докажите, что каждое из данных чисел делится на 5.

Найдите последнюю цифру числа  1² + 2² + ... + 99².

а)  <i>a</i> + 1  делится на 3. Докажите, что  4 + 7<i>a</i>  делится на 3.б)  2 + <i>a</i>  и  35 – <i>b</i>  делятся на 11. Докажите, что  <i>a + b</i>  делится на 11.

<i>x, y, z</i> – натуральные числа, причём  <i>x</i>² + <i>y</i>² = <i>z</i>².  Докажите, что <i>xy</i> делится на 12.

Докажите, что число  6<i>n</i>³ + 3  не является шестой степенью целого числа ни при каком натуральном <i>n</i>.

Докажите, что  <i>a</i>³ + <i>b</i>³ + 4  не является кубом целого числа ни при каких натуральных <i>a</i> и <i>b</i>.

Докажите, что число 10...050...01 (в каждой из двух групп по 100 нулей) не является кубом целого числа.

<i>p</i>,  4<i>p</i>² + 1  и  6<i>p</i>² + 1  – простые числа. Найдите <i>p</i>.

Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не является точным квадратом.

а) Может ли сумма квадратов двух нечётных чисел быть квадратом целого числа? б) Может ли сумма квадратов трёх нечётных чисел быть квадратом целого числа?

Докажите, что не существует таких натуральных чисел <i>a</i> и <i>b</i>, что  <i>a</i>² – 3<i>b</i>² = 8.

<i>p</i> и  <i>p</i>² + 2  – простые числа. Докажите, что  <i>p</i>² + 2  – также простое число.

<i>p</i> и  8<i>p</i>² + 1  – простые числа. Найдите <i>p</i>.

а) <i>p,  p</i> + 10,  <i>p</i> + 14  – простые числа. Найдите <i>p</i>.б) <i>p</i>,  2<i>p</i> + 1,  4<i>p</i> + 1  – простые числа. Найдите <i>p</i>.

Найдите последнюю цифру числа 7^7⁷.