Олимпиадные задачи из источника «глава 15. Системы счисления»

Докажите, что из набора 0, 1, 2, ...,  ½ (3^<i>k</i> – 1)  можно выбрать 2^<i>k</i> чисел так, чтобы никакое из них не являлось средним арифметическим двух других выбранных чисел.

Докажите, что из набора 0, 1, 2, ...,  3^<i>k</i> – 1  можно выбрать 2^<i>k</i> чисел так, чтобы никакое из них не являлось средним арифметическим двух других выбранных чисел.

Кащей Бессмертный загадывает три двузначных числа:<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>. Иван Царевич должен назвать ему три числа:<i>X</i>,<i>Y</i>,<i>Z</i>, после чего Кащей сообщит ему сумму<i>aX</i> + <i>bY</i> + <i>cZ</i>. Царевич должен отгадать задуманные числа, иначе ему отрубят голову. Как ему спастись?

Какое наименьшее число гирь необходимо для того, чтобы иметь возможность взвесить любое число граммов от 1 до 100 на чашечных весах, если гири можно класть на обе чашки весов?

Какое наименьшее число гирь необходимо для того, чтобы иметь возможность взвесить любое число граммов от 1 до 100 на чашечных весах, если гири можно класть только на одну чашку весов?

Сформулируйте и докажите признак делимости на

  а) делитель числа "основание системы счисления – 1" (аналогичный признаку делимости на 3).

  б) "основание + 1" (аналогичный признаку делимости на 11).

  в) делитель числа "основание + 1" (аналога нет!).

Сформулируйте и докажите признак делимости на

  а) степень основания системы счисления (аналогичный признакам делимости на 100, 1000, ...).

  б) делитель основания системы счисления (аналогичный признакам делимости на 2 и на 5).

Один школьный учитель заявил, что у него в классе 100 детей, из них 24 мальчика и 32 девочки. Какой системой счисления он пользовался?

На доске сохранилась полустертая запись<div align="CENTER" class="mathdisplay"> <img width="137" height="86" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30835/problem_30835_img_2.gif"> </div>Выясните, в какой системе счисления записан пример и восстановите слагаемые.

Сформулируйте (и докажите) условие, позволяющее определить четность числа по его записиа) в троичной системе счисления;б) в системе счисления с основанием <i>n</i>.

Существует ли система счисления, в которой одновременноа) 3 + 4 = 10 и 3 · 4 = 15;б) 2 + 3 = 5 и 2 · 3 = 11?

В какой системе счисления справедливо равенство 3 · 4 = 10?