Олимпиадные задачи из источника «глава 12. Инвариант»

На острове Серобуромалин обитают 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Если встречаются два хамелеона разного цвета, то они одновременно меняют свой цвет на третий (серый и бурый становятся оба малиновыми и т.п.). Может ли случиться так, что через некоторое время все хамелеоны будут одного цвета?

На столе стоят семь стаканов – все вверх дном. За один ход можно перевернуть любые четыре стакана.

Можно ли за несколько ходов добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно?

Дана некоторая тройка чисел. С любыми двумя из них разрешается проделывать следующее: если эти числа равны <i>a</i> и <i>b</i>, то их можно заменить на   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/30779/problem_30779_img_2.gif">  и  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/30779/problem_30779_img_3.gif"> .  Можно ли с помощью таких операций получить тройку   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/30779/problem_30779_img_4.gif">   из тройки   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/30779/problem_30779_img_5.gif">

В ряд выписаны числа 1, 2, 3, ..., <i>n</i>. За один ход разрешается поменять местами любые два числа.

Может ли после 1989 таких операций порядок чисел оказаться исходным?

На столе лежит куча из 1001 камня. Ход состоит в том, что из какой-либо кучи, содержащей более одного камня, выкидывают камень, а затем одну из куч делят на две. Можно ли через несколько ходов оставить на столе только кучки, состоящие из трех камней?

В задаче 19 выясните, какие карточки можно получить из карточки (5, 19), а какие нельзя.

Круг разделен на 6 секторов и в них по часовой стрелке расставлены числа: 1, 0, 1, 0, 0, 0. Разрешается прибавить по единице к числам в любых двух соседних секторах. Можно ли такими операциями добиться того, чтобы все числа в секторах были одинаковыми?

В вершинах куба расставлены числа: 7 нулей и одна единица. За один ход разрешается прибавить по единице к числам в концах любого ребра куба. Можно ли добиться того, чтобы все числа стали равными? А можно ли добиться того, чтобы все числа делились на 3?

В таблице<i>m</i> × <i>n</i>расставлены числа так, что сумма чисел в любой строке или столбце равна 1. Докажите, что<i>m</i> = <i>n</i>.Примечание. Как ни странно, но в некотором смысле это тоже задача на инвариант.

Фишка ходит по квадратной доске, каждым своим ходом сдвигаясь либо на клетку вверх, либо на клетку вправо, либо по диагонали вниз-влево. Может ли она обойти всю доску, побывав на всех полях ровно по одному разу, и закончить на поле, соседнем справа от исходного?

В пробирке находятся марсианские амебы трех типов:<i>A</i>,<i>B</i>и<i>C</i>. Две амебы любых двух разных типов могут слиться в одну амебу третьего типа. После нескольких таких слияний в пробирке оказалась одна амеба. Каков ее тип, если исходно амеб типа<i>A</i>было 20 штук, типа<i>B</i>- 21 штука и типа<i>C</i>- 22 штуки?

На доске написано число 8^<i>n</i>. У него вычисляется сумма цифр, у полученного числа вновь вычисляется сумма цифр, и так далее, до тех пор, пока не получится однозначное число. Что это за число, если<i>n</i> = 1989?

Есть три печатающих автомата. Первый по карточке с числами<i>a</i>и<i>b</i>выдает карточку с числами<i>a</i> + 1 и<i>b</i> + 1; второй по карточке с четными числами<i>a</i>и<i>b</i>выдает карточку с числами<i>a</i>/2 и<i>b</i>/2; третий автомат по паре карточек с числами<i>a</i>,<i>b</i>и<i>b</i>,<i>c</i>выдает карточку с числами<i>a</i>,<i>c</i>. Все автоматы возвращают заложенные в них карточки. Можно ли с помощью этих автоматов из карточки (5, 19) получить карточку (1, 1988)?

Разменный автомат меняет одну монету на пять других. Можно ли с его помощью разменять металлический рубль на 26 монет?

В странах Диллии и Даллии денежными единицами являются диллеры и даллеры соответственно, причем в Диллии диллер меняется на 10 даллеров, а в Даллии даллер меняется на 10 диллеров. Начинающий финансист имеет 1 диллер и может свободно перезжать из одной страны в другую и менять свои деньги в обеих странах. Докажите, что количество даллеров у него никогда не сравняется с количеством диллеров.

Иван-царевич имеет два волшебных меча, один из которых может отрубить Змею Горынычу 21 голову, а второй - 4 головы, но тогда у Змея Горыныча отрастает 1985 голов. Может ли Иван отрубить Змею Горынычу все головы, если в самом начале у него было 100 голов? (Примечание: если, например, у Змея Горыныча осталось лишь три головы, то рубить их ни тем, ни другим мечом нельзя).

Можно ли доску размерами 4 × <i>N</i>обойти ходом коня, побывав на каждом поле ровно один раз, и вернуться на исходное поле?

Дно прямоугольной коробки вымощено плитками 1 × 4 и 2 × 2. Плитки высыпали из коробки и одна плитка 2 × 2 потерялась. Ее заменили на плитку 1 × 4. Докажите, что теперь дно коробки вымостить не удастся.

Фигура "верблюд" ходит по доске 10 × 10 ходом типа (1, 3) (то есть, она сдвигается сначала на соседнее поле, а затем сдвигается еще на три поля в перпендикулярном направлении; конь, например, ходит ходом типа (1, 2)). Можно ли пройти ходом "верблюда" с какого-то исходного поля на соседнее с ним?

В вершинах правильного 12-угольника расставлены числа 1 и –1 так, что во всех вершинах, кроме одной, стоят единицы. Разрешается изменять знак в любых <i>k</i> подряд идущих вершинах. Можно ли такими операциями добиться того, чтобы единственное число –1 сдвинулось в соседнюю с исходной вершину, если   а)  <i>k</i> = 3;   б)  <i>k</i> = 4;   в)  <i>k</i> = 6.

На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 1989. Разрешается стереть любые два числа и написать вместо них разность этих чисел.

Можно ли добиться того, чтобы все числа на доске стали нулями?

В таблице 8×8 все четыре угловые клетки закрашены чёрным цветом, все остальные – белым. Докажите, что с помощью перекрашивания строк и столбцов нельзя добиться того, чтобы все клетки стали белыми. Под перекрашиванием строки или столбца понимается изменение цвета всех клеток в строке или столбце.

В таблице 3×3 одна из угловых клеток закрашена чёрным цветом, все остальные – белым. Докажите, что с помощью перекрашивания строк и столбцов нельзя добиться того, чтобы все клетки стали белыми. Под перекрашиванием строки или столбца понимается изменение цвета всех клеток в строке или столбце.

В таблице 8×8 одна из клеток закрашена чёрным цветом, все остальные – белым. Докажите, что с помощью перекрашивания строк и столбцов нельзя добиться того, чтобы все клетки стали белыми. Под перекрашиванием строки или столбца понимается изменение цвета всех клеток в строке или столбце.

На шести ёлках сидят шесть чижей, на каждой ёлке – по чижу. Ёлки растут в ряд с интервалами в 10 метров. Если какой-то чиж перелетает с одной ёлки на другую, то какой-то другой чиж обязательно перелетает на столько же метров, но в обратном направлении.

  а) Могут ли все чижи собраться на одной ёлке?

  б) А если чижей и ёлок – семь?