Олимпиадные задачи из источника «глава 10. Делимость-2»

Найти все пары целых чисел  (<i>x, y</i>),  удовлетворяющие уравнению   3·2^<i>x</i> + 1 = <i>y</i>².

Доказать, что никакая степень числа 2 не оканчивается четырьмя одинаковыми цифрами.

Доказать, что существует бесконечно много чисел, не представимых в виде суммы трёх кубов.

Найти остаток от деления на 7 числа  10¹⁰ + 10^10² + 10^10³ + ... + 10^10¹⁰.

Докажите, что при любом простом  <i>p</i>   <img align="middle" src="/storage/problem-media/60750/problem_60750_img_2.gif">   делится на <i>p</i>.

Пусть <i>n</i> – натуральное число, не кратное 17. Докажите, что либо  <i>n</i>⁸ + 1,  либо  <i>n</i>⁸ – 1  делится на 17.

а) Пусть <i>p</i> – простое число, отличное от 3. Докажите, что число 1...1 (<i>p</i> единиц) не делится на p. б) Пусть  <i>p</i> > 5  – простое число. Докажите, что число 1...1  (<i>p</i> – 1  единица) делится на p.

Пусть <i>p</i> – простое число, и <i>a</i> не делится на <i>p</i>. Докажите, что найдется натуральное число <i>b</i>, для которого  <i>ab</i> ≡ 1 (mod <i>p</i>).

Пусть <i>p</i> и <i>q</i> – различные простые числа. Докажите, что

  а)  <i>p^q + q^p ≡ p + q</i> (mod <i>pq</i>);   б)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/30681/problem_30681_img_2.gif"> – чётное число, если  <i>p, q</i> ≠ 2.

Сумма трёх чисел <i>a, b</i> и <i>c</i> делится на 30. Докажите, что  <i>a</i>⁵ + <i>b</i>⁵ + <i>c</i>⁵  также делится на 30.

Пусть <i>p</i> – простое число. Докажите, что  (<i>a + b</i>)^<i>p</i> ≡ <i>a^p + b^p</i> (mod <i>p</i>)  для любых целых <i>a</i> и <i>b</i>.

Докажите, что число  30²³⁹ + 239³⁰  составное.

Докажите, что  7¹²⁰ – 1  делится на 143.

Найдите остаток от деления 8⁹⁰⁰ на 29.

Докажите, что  300³⁰⁰⁰ – 1  делится на 1001.

Найдите остаток от деления 3¹⁰² на 101.

Найдите остаток от деления 2¹⁰⁰ на 101.

Пусть  <i>ka ≡ kb</i> (mod <i>kn</i>).  Тогда  <i>a ≡ b</i> (mod <i>n</i>).

Пусть  <i>ka ≡ kb</i> (mod <i>m</i>),  <i>k</i> и <i>m</i> взаимно просты. Тогда  <i>a ≡ b</i> (mod <i>m</i>).

Решите уравнение  <i>x</i>² – 5<i>y</i>² = 1  в целых числах.

Решите в натуральных числах уравнение  <i>x</i>² + <i>y</i>² = <i>z</i>².

Решите уравнение в целых числах:  <i>x</i>³ + 3 = 4<i>y</i>(<i>y</i> + 1).

Докажите, что уравнение  ¹/_<i>x</i> – ¹/_<i>y</i> = ¹/_<i>n</i>  имеет единственное решение в натуральных числах тогда и только тогда, когда <i>n</i> – простое число.

Решить в целых числах уравнение  <i>x</i>² – <i>y</i>² = 1988.

Решить в целых числах уравнение  ¹/_<i>a</i> + ¹/_<i>b</i> + ¹/_<i>c</i> = 1.