Олимпиадные задачи из источника «Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел» для 8 класса - сложность 3 с решениями

На двух клетках шахматной доски стоят чёрная и белая фишки. За один ход можно передвинуть любую из них на соседнюю по вертикали или горизонтали клетку (две фишки не могут стоять на одной клетке). Могут ли в результате таких ходов встретиться все возможные варианты расположения этих двух фишек, причём ровно по одному разу?

Найти все такие натуральные <i>n</i>, для которых числа ¹/_<i>n</i> и ¹/_<i>n</i>+1 выражаются конечными десятичными дробями.

Найти все многочлены <i>P</i>(<i>x</i>), для которых справедливо тождество:  <i>xP</i>(<i>x</i> – 1) ≡ (<i>x</i> – 26)<i>P</i>(<i>x</i>).

Дано <i>n</i> чисел, <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i>, при этом  <i>x_k</i> = ±1.  Доказать, что если  <i>x</i>₁<i>x</i>₂ + <i>x</i>₂<i>x</i>₃ + ... + <i>x_nx</i>₁ = 0,  то <i>n</i> делится на 4.

На сколько частей разделяют<i>n</i>-угольник его диагонали, если никакие три диагонали не пересекаются в одной точке?

Коля Васин, решая задачу, получил в ответе шестизначное число. А потом он подумал, что это произведение двух трехзначных чисел и выполнил умножение. Каким был первоначальный ответ, если второй ответ оказался в три раза меньше?

Докажите, что 13-е число месяца с большей вероятностью приходится на пятницу, чем на другие дни недели. Предполагается, что мы живем по Григорианскому стилю.

Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61528/problem_61528_img_2.gif">

Числа <i>P_kl</i>(<i>n</i>) определены в задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161525">161525</a>.

Придумайте какое-либо взаимно-однозначное соответствие между разбиениями натурального числа на различные и на нечётные слагаемые.

На доске написано <i>n</i> натуральных чисел. Пусть <i>a_k</i> – количество тех из них, которые больше <i>k</i>. Исходные числа стерли и вместо них написали все положительные <i>a_k</i>. Докажите, что если с новыми числами сделать то же самое, то на доске окажется исходный набор чисел.

Например, для чисел 5, 3, 3, 2, получается следующая цепочка   (5, 3, 3, 2)  →  (4, 4, 3, 1, 1)  →  (5, 3, 3, 2).

Предположим, что у нас имеется 1000000 автобусных билетов с номерами от 000000 до 999999. Будем называть билет <i>счастливым</i>, если сумма первых трёх цифр его номера равна сумме трёх последних. Пусть <i>N</i> – количество счастливых билетов. Докажите равенства:

  а)  (1 + <i>x</i> + ... + <i>x</i>⁹)³(1 + <i>x</i>^–1 + ... + <i>x</i>^–9)³ = <i>x</i>²⁷ + ... + <i>a</i>₁<i>x</i> + <i>N</i> + <i>a</i>₁<i>x</i> + ... + <i>x</i>^–27;...

Пусть <i>a_n</i> – число решений уравнения  <i>x</i>₁ + ... + <i>x_k</i> = <i>n</i>   в целых неотрицательных числах и <i>F</i>(<i>x</i>) – производящая функция последовательности <i>a_n</i>.

  а) Докажите равенства:  <i>F</i>(<i>x</i>) = (1 + <i>x</i> + <i>x</i>² + ...)^<i>k</i> = (1 – <i>x</i>)^–<i>k</i>.

  б) Найдите формулу для <i>a_n</i>, пользуясь задачей <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161490">161490</a>.

<b>Дискретная теорема Лиувилля.</b>Пусть<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) — ограниченная гармоническая (определение смотри в задаче<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161455">11.28</a>) функция, то есть существует положительная константа<i>M</i>такая, что<div align="CENTER"> $\displaystyle \forall$(<i>x</i>, <i>y</i>) $\displaystyle \in$ $\displaystyle \mathbb {Z}$²    | <i>f</i> (<i>x</i>, <i>y</i>)| $\displaystyle \leqslant$ <i>M</i>. </div>Докажите, что функция<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) равна константе.

Для каких натуральных<i>n</i>в выражении<div align="CENTER"> ±1²±2²±3²±...±<i>n</i>² </div>можно так расставить знаки + и -, что в результате получится 0?

Докажите, что при всех натуральных <i>n</i> число   <i>f</i> (<i>n</i>) = 2^{2<i>n</i>–1} – 9<i>n</i>² + 21<i>n</i> – 14   делится на 27.

Найдите : <table> <tr><td align="LEFT">а) $\sum\limits_{k=1}^{n}$${\dfrac{1}{k(k+1)}}$;    </td> <td align="LEFT">д) $\sum\limits_{k=1}^{n}$${\dfrac{4k+1}{k(k+1)(4k^2-1)}}$;</td> </tr> <tr><td align="LEFT">б) $\sum\limits_{k=2}^{n}$${\dfrac{1}{k^2-1}}$;    </td> <td align="LEFT">е) $\sum\limits_{k=1}^{n}$${\dfrac{k-1}{k!}}$;</td> </tr> <tr><td align="LEFT"> в) $\sum\limits_{k=1}^{n}$${\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}}$;    </td> <td align="LEFT"> ж) $\sum\limits_{k=1}^{n}$<i>k</i>! <i>k</i>.</td> </tr> <tr><td align="LEFT"> г) $\sum\limits_{k=1}^{n}$${\dfrac{(k-1),2^k}{k(k+1)}}$;&lt...

Докажите неравенство для положительных значений переменных:   <i>a</i>³<i>b</i> + <i>b</i>³<i>c</i> + <i>c</i>³<i>a</i> ≥ <i>abc</i>(<i>a + b + c</i>).

Решите системы уравнений: а)   <i>x</i>₁ + <i>x</i>₂ + <i>x</i>₃ = 0,

      <i>x</i>₂ + <i>x</i>₃ + <i>x</i>₄ = 0,

&nbsp     ...

      <i>x</i>₉₉ + <i>x</i>₁₀₀ + <i>x</i>₁ = 0,

      <i>x</i>₁₀₀ + <i>x</i>₁ + <i>x</i>₂ = 0; б)   <i>x + y + z = a</i>,

      <i>y + z + t = b</i>,

      <i>y + z + t = c</i>,

      <...

Зафиксируем числа<i>a</i>₀и<i>a</i>₁. Построим последовательность {<i>a</i>_n} в которой<div align="CENTER"> <i>a</i>_{n + 1} = $\displaystyle {\frac{a_n+a_{n-1}}{2}}$        (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 1). </div>Выразите<i>a</i>_nчерез<i>a</i>₀,<i>a</i>₁и<i>n</i>.

Пусть<i>a</i>и<i>k</i>> 0 произвольные числа. Определим последовательность {<i>a</i>_n} равенствами<div align="CENTER"> <i>a</i>₀ = <i>a</i>,        <i>a</i>_{n + 1} = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \left(\vphantom{a_n+\frac{k}{a_n}}\right.$<i>a</i>_n + $\displaystyle {\frac{k}{a_n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{a_n+\frac{k}{a_n}}\right)$    (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 0). </div>Докажите, что при любом неотрицательном<i>n</i>выполняется равенство<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{a_n-\sqrt k}{a_n+\sqrt k}}$ = $\displa...

Имеются два сосуда. В них разлили 1 л воды. Из первого сосуда переливают половину воды во второй, затем из второго переливают половину оказавшейся в нем воды в первый, затем из первого сосуда переливают половину оказавшейся в нем воды во второй и т. д. Докажите, что независимо от того, сколько воды было сначала в каждом из сосудов, после 100 переливаний в них будет${\frac{2}{3}}$л и${\frac{1}{3}}$л с точностью до 1 миллилитра.

Решите систему     <img width="20" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61173/problem_61173_img_2.gif"><img width="129" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61173/problem_61173_img_3.gif"> Какой геометрический смысл она имеет?

Докажите, что если  <i>f</i>(<i>x</i>) – многочлен, степень которого меньше <i>n</i>, то дробь   <img width="205" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61063/problem_61063_img_2.gif">   (<i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i>  – произвольные попарно различные числа) может быть представлена в виде суммы <i>n</i> простейших дробей:   <img align="middle" src="/storage/problem-media/61063/problem_61063_img_3.gif">

где  <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, ..., <i>A<sub>...

Про многочлен   <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>¹⁰ + <i>a</i>₉<i>x</i>⁹ + ... + <i>a</i>₀  известно, что   <i>f</i>(1) = <i>f</i>(–1),  ...,   <i>f</i>(5) = <i>f</i>(–5).  Докажите, что   <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>f</i>(– <i>x</i>)  для любого действительного <i>x</i>.

Два корабля двигаются с постоянными скоростями. Расстояния между ними, измеренные в 12, 14 и 15 часов, равнялись

5, 7 и 2 километра соответственно. Каким было расстояние между кораблями в 13 часов?