Задача
Предположим, что у нас имеется 1000000 автобусных билетов с номерами от 000000 до 999999. Будем называть билет счастливым, если сумма первых трёх цифр его номера равна сумме трёх последних. Пусть N – количество счастливых билетов. Докажите равенства:
а) (1 + x + ... + x9)3(1 + x–1 + ... + x–9)3 = x27 + ... + a1x + N + a1x + ... + x–27;
б) (1 + x + ... + x9)6 = 1 + ... + Nx27 + ... + x54.
в) Найдите число счастливых билетов.
Решение
а) Раскрыв скобки в произведении (1 + ... + x9)(1 + ... + x9)(1 + ... + x9)(1 + ... + x–9)(1 + ... + x–9)(1 + ... + x–9), мы получим сумму выражений вида xkxlxmx–nx–px–q (xk берётся из первой скобки, xl – из второй, и т. д.).
Каждое решение уравнения k + l + m – n – p – q в "цифрах" дает единичный вклад в свободный член. А число решений этого уравнения и есть количество счастливых билетов. б) Достаточно умножить равенство из п. а) наx–27.
в) Из п. б) следует, чтоNравно коэффициенту приx27у функции 
Разложим функции (1 –x10)6 и (1 –x)–-6 по степенямx:
Отсюда
Ответ
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь