Решение 1:   2^2n–1 + 1 = 3(2^2n–2 – 2^2n–3 + 2^2n–4 – ... – 2 + 1) = 3(2^2n–3 + 2^2n–5 + ... + 2) + 3,  поэтому достаточно доказать, что

2^2n–3 + 2^2n–5 + ... + 2 ≡ 3n² – 7n + 2 ≡ 3n² + 2n + 2 (mod 9),  или что  (2^2n–3 + 1) + (2^2n–5 + 1) + ... + (2 + 1) ≡ 3n² + 3n + 3 (mod 9).

  Сокращая на 3, получим  (2^2n–4 – 2^2n–5 + ... + 1) + (2^2n–6 – 2^2n–7 + ... + 1) + ... + 1 ≡ n² + n + 1 ≡ (n – 1)² (mod 3).

  Заменив в левой части 2 на –1, получим  (2n – 3) + (2n – 5) + ... + 1 = (n – 1)².

Решение 2:   Индукция. База.  f(1) = 0.

  Шаг индукции. Достаточно проверить, что  f(n + 1) – 4f(n)  делится на 27. И действительно

2^2(n+1)–1 – 9(n + 1)² + 21(n + 1) – 14 – 4·2^2n–1 + 36n² – 84n + 56 = 27n² – 81n + 54 = 27(3n² – 3n + 2).

Ответ задачи отсутствует