Задача
Дискретная теорема Лиувилля.Пустьf(x,y) — ограниченная гармоническая (определение смотри в задаче11.28) функция, то есть существует положительная константаMтакая, что
$\displaystyle \forall$(x, y) $\displaystyle \in$ $\displaystyle \mathbb {Z}$2 | f (x, y)| $\displaystyle \leqslant$ M.
Докажите, что
функцияf(x,y) равна константе.
Решение
Рассмотрим функции
$\displaystyle \Delta_{x}^{}$f (x, y) = f (x + 1, y) - f (x, y) и $\displaystyle \Delta_{y}^{}$f (x, y) = f (x, y + 1) - f (x, y),
которые также будут ограниченными и гармоническими. Пусть функция$\Delta_{x}^{}$f(x,y) не равна нулю тождественно. Допустим, чтоM=$\sup_{(x,y)\in\mathbb{Z}^2}^{}$$\displaystyle \Delta_{x}^{}$f(x,y). Тогда на плоскости$\mathbb {Z}$2можно найти квадратKсколь угодно большого
размера (n×n), что$\Delta_{x}^{}$f(x,y) >M/2 для всех точекK. Отсюда следует, что функцияf(x,y) возрастет
при движении внутриKпараллельно осиOxпо крайней мере наM . n/2. Но это противоречит ограниченностиf(x,y).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет