Олимпиадные задачи из источника «глава 6. Многочлены» для 1-10 класса - сложность 3 с решениями

В квадратном уравнении  <i>x</i>² + <i>px + q</i>  коэффициенты <i>p, q</i> независимо пробегают все значения от –1 до 1 включительно.

Найти множество значений, которые при этом принимает действительный корень данного уравнения.

Найти все многочлены <i>P</i>(<i>x</i>), для которых справедливо тождество:  <i>xP</i>(<i>x</i> – 1) ≡ (<i>x</i> – 26)<i>P</i>(<i>x</i>).

Пусть  <i>P</i>(x) = <i>a_nxⁿ + ... + a</i>₁<i>x + a</i>₀  – многочлен с целыми коэффициентами.

Докажите, что хотя бы одно из чисел  |3^<i>n</i>+1 – <i>P</i>(<i>n</i> + 1)|,  ...,  |3¹ – <i>P</i>(1)|,  |1 – <i>P</i>(0)|  не меньше 1.

Докажите, что многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a</i>₀ + <i>a</i>₁<i>x + ... + a_nxⁿ</i>  имеет число –1 корнем кратности  <i>m</i> + 1  тогда и только тогда, когда выполнены условия:

    <i>a</i>₀ – <i>a</i>₁ + <i>a</i>₂ – <i>a</i>₃ + ... + (–1)<i>ⁿa_n</i> = 0,

    – <i>a</i>₁ + 2<i>a</i>₂ – 3<i>a</i>₃ + ... + (–1)<i>&l...

Докажите, что многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) делится на свою производную тогда и только тогда, когда <i>P</i>(<i>x</i>) имеет вид  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a_n</i>(<i>x – x</i>₀)^<i>n</i>.

Докажите, что если  <i>f</i>(<i>x</i>) – многочлен, степень которого меньше <i>n</i>, то дробь   <img width="205" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61063/problem_61063_img_2.gif">   (<i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i>  – произвольные попарно различные числа) может быть представлена в виде суммы <i>n</i> простейших дробей:   <img align="middle" src="/storage/problem-media/61063/problem_61063_img_3.gif">

где  <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, ..., <i>A<sub>...

Про многочлен   <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>¹⁰ + <i>a</i>₉<i>x</i>⁹ + ... + <i>a</i>₀  известно, что   <i>f</i>(1) = <i>f</i>(–1),  ...,   <i>f</i>(5) = <i>f</i>(–5).  Докажите, что   <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>f</i>(– <i>x</i>)  для любого действительного <i>x</i>.

Два корабля двигаются с постоянными скоростями. Расстояния между ними, измеренные в 12, 14 и 15 часов, равнялись

5, 7 и 2 километра соответственно. Каким было расстояние между кораблями в 13 часов?

Корабль с постоянной скоростью проплывает мимо небольшого острова. Капитан каждый час измеряет расстояние до острова.

В 12, 14 и 15 часов расстояния равнялись 7, 5 и 11 километров соответственно.

Каким было расстояние до острова в 13 часов? Чему оно будет равно в 16 часов?

Пусть  <i>x</i>₁ < <i>x</i>₂ < ... < <i>x_n</i>  – действительные числа. Докажите, что для любых  <i>y</i>₁, <i>y</i>₂, ..., <i>y_n</i>  существует единственнный многочлен  <i>f</i>(<i>x</i>) степени не выше  <i>n</i> – 1,  такой, что  <i>f</i>(<i>x</i>₁) = <i>y</i>₁, ...,  <i>f</i>(<i>x_n</i>) = <i>y_n</i>.

Найдите зависимость между коэффициентами кубического уравнения  <i>ax</i>³ + <i>bx</i>² + <i>cx + d</i> = 0,  если известно, что сумма двух его корней равна произведению этих корней.

Известно, что целые числа <i>a, b, c</i> удовлетворяют равенству  <i>a + b + c</i> = 0.  Докажите, что  2<i>a</i>⁴ + 2<i>b</i>⁴ + 2<i>c</i>⁴  – квадрат целого числа.

а) Числа <i>a, b, c</i> являются тремя из четырёх корней многочлена  <i>x</i>⁴ – <i>ax</i>³ – <i>bx + c</i>.  Найдите все такие многочлены.

б) Числа <i>a, b, c</i> являются корнями многочлена  <i>x</i>⁴ – <i>ax</i>³ – <i>bx + c</i>.  Найдите все такие многочлены.

Решите системы: а)   <img align="middle" src="/storage/problem-media/61040/problem_61040_img_2.gif"> б)  <i>x</i>(<i>y + z</i>) = 2,  <i>y</i>(<i>z + x</i>) = 2,  <i>z</i>(<i>x + y</i>) = 3; в)  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>x + y</i> = 32,  12(<i>x + y</i>) = 7<i>xy</i>; г)   <img align="middle" src="/storage/problem-media/61040/problem_61040_img_3.gif"> д)  <i>x + y + z</i> = 1,  <i>xy + xz + yz</i> = –4,  <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i><sup>3</sup&gt...

а) Известно, что  <i>x + y = u + v,  x</i>² + <i>y</i>² = <i>u</i>² + <i>v</i>².

Докажите, что при любом натуральном <i>n</i> выполняется равенство  <i>xⁿ + yⁿ = uⁿ + vⁿ</i>. б) Известно, что  <i>x + y + z = u + v + t,  x</i>²+<i>y</i>²+<i>z</i>²=<i>u</i>²+<i>v</i>²+<i>t</i>², <i>x</i>³+<i>...

Пусть известно, что все корни некоторого уравнения  <i>x</i>³ + <i>px</i>² + <i>qx + r</i> = 0  положительны. Какому дополнительному условию должны удовлетворять его коэффициенты <i>p, q</i> и <i>r</i> для того, чтобы из отрезков, длины которых равны этим корням, можно было составить треугольник?

Известно, что <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, <i>x</i>₃ – корни уравнения  <i>x</i>³ – 2<i>x</i>² + <i>x</i> + 1 = 0.

Составьте новое уравнение, корнями которого были бы числа  <i>y</i>₁ = <i>x</i>₂<i>x</i>₃,  <i>y</i>₂ = <i>x</i>₁<i>x</i>₃,  <i>y</i>₃ = <i>x</i>₁<i>x</i>₂.

Постройте многочлен, корни которого равны квадратам корней многочлена  <i>x</i>³ + <i>x</i>² – 2<i>x</i> – 1.

Найдите все значения параметра <i>a</i>, при которых корни <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, <i>x</i>₃ многочлена  <i>x</i>³ – 6<i>x</i>² + <i>ax + a</i>  удовлетворяют равенству

(<i>x</i>₁ – 3)³ + (<i>x</i>₂ – 3)³ + (<i>x</i>₃ – 3)³ = 0.

Выразите через элементарные симметрические многочлены следующие выражения:

  а}  (<i>x + y</i>)(<i>y + z</i>)(<i>x + z</i>);

  б}  <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i>³ – 3<i>xyz</i>;

  в}  <i>x</i>³ + <i>y</i>³;

  г)  (<i>x</i>² + <i>y</i>²)(<i>y</i>² + <i>z</i>²)(<i>x</i>² + <i>z</i>²);

  д)   <img align="middle" src="/storage/prob...

Докажите, что многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = (<i>x</i>^<i>n</i>+1 – 1)(<i>x</i>^<i>n</i>+2 – 1)...(<i>x^n+m</i> – 1)  делится на  <i>Q</i>(<i>x</i>) = (<i>x</i> – 1)(<i>x</i>² – 1)...(<i>x^m</i> – 1).

Докажите, что многочлен<i>x</i>²ⁿ-<i>nx</i>^{n + 1}+<i>nx</i>^{n - 1}- 1 при<i>n</i>> 1 имеет трехкратный корень<i>x</i>= 1.

Докажите, что многочлен<div align="CENTER"> <i>P</i>(<i>x</i>) = 1 + <i>x</i> + $\displaystyle {\frac{x^2}{2!}}$ +...+ $\displaystyle {\frac{x^n}{n!}}$ </div>не имеет кратных корней.

Решите уравнения:

   a)  <i>x</i>⁴ + <i>x</i>³ – 3<i>a</i>²<i>x</i>² – 2<i>a</i>²<i>x</i> + 2<i>a</i>⁴ = 0;

   б)  <i>x</i>³ – 3<i>x</i> = <i>a</i>³ + <i>a</i>^–3.

Найдите рациональные корни многочленов:

  а)  <i>x</i>⁵ – 2<i>x</i>⁴ – 4<i>x</i>³ + 4<i>x</i>² – 5<i>x</i> + 6;

  б)  <i>x</i>⁵ + <i>x</i>⁴ – 6<i>x</i>³ – 14<i>x</i>² – 11<i>x</i> – 3.