Задача
Докажите, что многочлен P(x) = (xn+1 – 1)(xn+2 – 1)...(xn+m – 1) делится на Q(x) = (x – 1)(x2 – 1)...(xm – 1).
Решение
Обозначим многочлен (xn+1 – 1)(xn+2 – 1)...(xn+m – 1) через Pn,m(x) (n ≥ 1, m ≥ 0), а P0,m(x) = (x – 1)(x2 – 1)...(xm – 1) – через Qm(x).
Докажем индукцией по n + m, что Pn,m делится на Qm, причём частное – многочлен с целыми коэффициентами.
База. Для многочленов P0,m и Pn,1 утверждение очевидно.
Шаг индукции. Пусть n > 1, а m > 0. Тогда
Pn,m(x) = Pn,m–1(x)(xn+m – 1) = xn(xm – 1)Pn,m–1(x) + (xn – 1)Pn,m–1(x) = xn(xm – 1)Pn,m–1(x) + Pn–1,m(x).
По предположению индукции Pn,m–1 делится на Qm–1, а Pn–1,m – на Qm. Поэтому Pn,m делится на Qm = (xm – 1)Qm–1.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь