Олимпиадные задачи из источника «параграф 4. Многочлены с кратными корнями»

Докажите, что многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a</i>₀ + <i>a</i>₁<i>x + ... + a_nxⁿ</i>  имеет число –1 корнем кратности  <i>m</i> + 1  тогда и только тогда, когда выполнены условия:

    <i>a</i>₀ – <i>a</i>₁ + <i>a</i>₂ – <i>a</i>₃ + ... + (–1)<i>ⁿa_n</i> = 0,

    – <i>a</i>₁ + 2<i>a</i>₂ – 3<i>a</i>₃ + ... + (–1)<i>&l...

Докажите, что при  <i>n</i> > 0  многочлен  <i>x</i>^2<i>n</i>+1 – (2<i>n</i> + 1)<i>x</i>^<i>n</i>+1 + (2<i>n</i> + 1)<i>xⁿ</i> – 1  делится на  (<i>x</i> – 1)³.

Докажите, что при  <i>n</i> > 0  многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>n</i>²<i>x</i>^<i>n</i>+2 – (2<i>n</i>² + 2<i>n</i> – 1)<i>x</i>^<i>n</i>+1 + (<i>n</i> + 1)²<i>xⁿ – x</i> – 1  делится на  (<i>x</i> – 1)³.

Докажите, что многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) делится на свою производную тогда и только тогда, когда <i>P</i>(<i>x</i>) имеет вид  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a_n</i>(<i>x – x</i>₀)^<i>n</i>.

Докажите, что многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = (<i>x</i>^<i>n</i>+1 – 1)(<i>x</i>^<i>n</i>+2 – 1)...(<i>x^n+m</i> – 1)  делится на  <i>Q</i>(<i>x</i>) = (<i>x</i> – 1)(<i>x</i>² – 1)...(<i>x^m</i> – 1).

Докажите, что при  <i>n</i> > 0  многочлен  <i>nx</i>^<i>n</i>+1 – (<i>n</i> + 1)<i>x ⁿ</i>  + 1  делится на  (<i>x</i> – 1)².

Докажите, что многочлен<i>x</i>²ⁿ-<i>nx</i>^{n + 1}+<i>nx</i>^{n - 1}- 1 при<i>n</i>> 1 имеет трехкратный корень<i>x</i>= 1.

При каких <i>A</i> и <i>B</i> многочлен  <i>Ax</i>^<i>n</i>+1 + <i>Bxⁿ</i> + 1  имеет число  <i>x</i> = 1  не менее чем двукратным корнем?

Докажите, что многочлен<div align="CENTER"> <i>P</i>(<i>x</i>) = 1 + <i>x</i> + $\displaystyle {\frac{x^2}{2!}}$ +...+ $\displaystyle {\frac{x^n}{n!}}$ </div>не имеет кратных корней.

<a>Постройте многочлен <i>R</i>(<i>x</i>) из задачи </a><a href="https://mirolimp.ru/tasks/161019">161019</a>, если:   а)  <i>P</i>(<i>x</i>) =<i>x</i>⁶– 6<i>x</i>⁴– 4<i>x</i>³+ 9<i>x</i>²+ 12<i>x</i>+ 4;   б)  <i>P</i>(<i>x</i>) =<i>x</i>⁵+<i>x</i>⁴– 2<i>x</i>³– 2<i>x</i>²+<i>x</i>+ 1.

Для данного многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) опишем способ, который позволяет построить многочлен <i>R</i>(<i>x</i>), который имеет те же корни, что и <i>P</i>(<i>x</i>), но все кратности 1. Положим  <i>Q</i>(<i>x</i>) = (<i>P</i>(<i>x</i>), <i>P'</i>(<i>x</i>))  и  <i>R</i>(<i>x</i>) = <i>P</i>(<i>x</i>)<i>Q</i>^–1(<i>x</i>).  Докажите, что

  а) все корни многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) будут корнями <i>R</i>(<i>x</i>);

  б) многочлен <i>R</i>(<i>x</i>) не имеет кратных корней....

Докажите, что корень <i>a</i> многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) имеет кратность больше 1 тогда и только тогда, когда  <i>P</i>(<i>a</i>) = 0  и  <i>P'</i>(<i>a</i>) = 0.