Переформулируем утверждение:

      многочлен  P(x) = a₀ + a₁x + ... + a_nxⁿ  имеет число –1 корнем кратности  m + 1  тогда и только тогда, когда

          f(0)a₀ – f(1)a₁ + ... + (–1)ⁿf(n)a_n = 0, (*)

    для каждого многочлена f степени не выше m.

  Докажем его индукцией по m. База  (m = 0)  очевидна.

  Шаг индукции. Число –1 является корнем кратности  m + 1  тогда и только тогда, когда оно является корнем кратности m и  P^(m)(–1) = 0.  Первое согласно предположению индукции эквивалентно тому, что (*) выполнено для всех многочленов  f степени не выше  m – 1.

  Второе эквивалентно равенству  g(0)a₀ – g(1)a₁ + ... + (–1)ⁿg(n)a_n = 0,  где  g(k) = k(k – 1)...(k – m + 1) = k^m + h(k),  h(k) – многочлен степени  m – 1.

  Поскольку (*) выполнено для многочленов g и h, то оно выполнено и для многочлена  k^m = g(k) – h(k),  а значит, и для любого многочлена  f степени не выше m.

Ответ задачи отсутствует