Задача
Пусть P(x) = anxn + ... + a1x + a0 – многочлен с целыми коэффициентами.
Докажите, что хотя бы одно из чисел |3n+1 – P(n + 1)|, ..., |31 – P(1)|, |1 – P(0)| не меньше 1.
Решение
Пусть все эти числа меньше 1, то есть равны нулю. Тогда P(k) = 3k при k = 0, ..., n + 1. Значит, ΔP(k) = 3k+1 – 3k = 2·3k = 2P(k) при
k = 0, ..., n. Следовательно, Δ²P(k) = 2ΔP(k) = 2²P(k) при k = 0, ..., n – 1, Δ³P(k) = 2³P(k) при k = 0, ..., n – 2, ...,
Δn+1P(0) = 2n+1P(0) = 2n+1. Однако Δn+1P ≡ 0 (см. задачу 161437). Противоречие.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет