Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Квадратный трехчлен»

Известно, что квадратные уравнения  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0  и  <i>bx</i>² + <i>cx + a</i> = 0  (<i>a, b</i> и <i>c</i> – отличные от нуля числа) имеют общий корень.

Найдите его.

В квадратном уравнении  <i>x</i>² + <i>px + q</i>  коэффициенты <i>p, q</i> независимо пробегают все значения от –1 до 1 включительно.

Найти множество значений, которые при этом принимает действительный корень данного уравнения.

Известно, что модули всех корней уравнений  <i>x</i>² + <i>Ax + B</i> = 0,  <i>x</i>² + <i>Cx + D</i> = 0  меньше единицы. Доказать, что модули корней уравнения

<i>x</i>² + ½ (<i>A + C</i>)<i>x</i> + ½ (<i>B + D</i>)<i>x</i> = 0  также меньше единицы. <i>A, B, C, D</i> – действительные числа.

Найдите все значения <i>x</i>, удовлетворяющие неравенству  (2 – <i>a</i>)<i>x</i>³ + (1 – 2<i>a</i>)<i>x</i>² – 6<i>x</i> + 5 + 4<i>a</i> – <i>a</i>² < 0  хотя бы при одном значении <i>a</i> из отрезка  [–1, 2].

Найдите все значения параметра <i>r</i>, при которых уравнение  (<i>r</i> – 4)<i>x</i>² – 2(<i>r</i> – 3)<i>x</i> + <i>r</i> = 0  имеет два корня, причём каждый из них больше –1.

При каком значении параметра <i>m</i> сумма квадратов корней уравнения  <i>x</i>² – (<i>m</i> + 1)<i>x</i> + <i>m</i> – 1 = 0  является наименьшей?

При каких значениях параметра <i>a</i> уравнение  (<i>a</i> – 1)<i>x</i>² – 2(<i>a</i> + 1)<i>x</i> + 2(<i>a</i> + 1) = 0  имеет только одно неотрицательное решение?

При каких значениях параметра <i>a</i> оба корня уравнения  (1 + <i>a</i>)<i>x</i>² – 3<i>ax</i> + 4<i>a</i> = 0  больше 1?

При каких значениях параметра <i>a</i> оба корня уравнения  (2 – <i>a</i>)<i>x</i>² – 3<i>ax</i> + 2<i>a</i> = 0  больше ½?

При каких значениях параметра<i>a</i>один из корней уравнения<div align="CENTER"> (<i>a</i>² + <i>a</i> + 1)<i>x</i>² + (2<i>a</i> - 3)<i>x</i> + (<i>a</i> - 5) = 0 </div>больше 1, а другой — меньше 1?

На фазовой плоскости через точку  (<i>p, q</i>)  проведены касательные к дискриминантной параболе  <i>p</i>² – 4<i>q</i> = 0.

Найдите координаты точек касания.

Фазовая плоскость <i>Opq</i> разбивается параболой  <i>p</i>² – 4<i>q</i> = 0  и прямыми  <i>p + q</i> + 1 = 0,  – 2<i>p + q</i> + 4 = 0  на несколько областей. Для точек каждой области укажите, сколько корней имеет соответствующий им многочлен  <i>x</i>² + <i>px + q</i> = 0  на интервале  (– 2, 1).

Найдите все такие<i>q</i>, что при любом<i>p</i>уравнение<i>x</i>²+<i>px</i>+<i>q</i>= 0 имеет два действительных корня.

Найдите все значения параметра<i>a</i>, для каждого из которых уравнение4<i>x</i>²- 2<i>x</i>+<i>a</i>= 0 имеет два корня, причем<i>x</i>₁< 1,<i>x</i>₂> 1.

Обозначим корни уравнения  <i>x</i>² + <i>px + q</i> = 0  через <i>x</i>₁, <i>x</i>₂. Нарисуйте на фазовой плоскости <i>Opq</i> множества точек  <i>M</i>(<i>, q</i>),  которые задаются условиями:

а)  <i>x</i>₁ = 0,  <i>x</i>₂ = 1;     б)  <i>x</i>₁ ≤ 0,  <i>x</i>₂ ≥ 2;     в)  <i>x</i>₁ = <i>x</i>₂;     г)  – 1 ≤ <i>x</i>₁ ≤ 0,  1 ≤ <i>x</i>₂ ≤ 2.

Для каждого действительного <i>a</i> построим на плоскости <i>Opq</i> <i>корневую прямую  a</i>² + <i>ap + q</i> = 0.

Докажите, что полученное множество прямых совпадает с множеством всех касательных к дискриминантной параболе  <i>p</i>² – 4<i>q</i> = 0.

Каким точкам фазовой плоскости соответствуют квадратные трёхчлены, не имеющие корней?

Докажите, что корни уравнения

  а)  (<i>x – a</i>)(<i>x – b</i>) + (<i>x – b</i>)(<i>x – c</i>) + (<i>x – a</i>)(<i>x – c</i>) = 0;

  б)  <i>c</i>(<i>x – a</i>)(<i>x – b</i>) + <i>a</i>(<i>x – b</i>)(<i>x – c</i>) + <i>b</i>(<i>x – a</i>)(<i>x – c</i>) = 0

всегда вещественные.

Изобразите ту часть плоскости (<i>x</i>;<i>y</i>), которая накрывается всевозможными кругами вида<div align="CENTER"> (<i>x</i> - <i>a</i>)² + (<i>y</i> - <i>a</i>)² $\displaystyle \leqslant$ 2 + <i>a</i>². </div>

Укажите все точки плоскости  (<i>x, y</i>),  через которые проходит хотя бы одна кривая семейства  <i>y = p</i>² + (2<i>p</i> – 1)<i>x</i> + 2<i>x</i>².

Укажите все точки плоскости (<i>x</i>;<i>y</i>), через которые не проходит ни одна из кривых семейства<div align="CENTER"> <i>y</i> = <i>p</i>² + (4 - 2<i>p</i>)<i>x</i> - <i>x</i>². </div>

Пусть α – корень уравнения  <i>x</i>² + <i>px</i> + <i>q</i> = 0,  а β – уравнения  <i>x</i>² – <i>px</i> – <i>q</i> = 0.  Докажите, что между α и β лежит корень уравнения  <i>x</i>² – 2<i>px</i> – 2<i>q</i> = 0.

При каких<i>a</i>уравнения<i>x</i>²+<i>ax</i>+ 1 = 0 и<i>x</i>²+<i>x</i>+<i>a</i>= 0 имеют хотя бы один общий корень?

Известно, что уравнение  <i>x</i>² + 5<i>bx + c</i> = 0  имеет корни <i>x</i>₁ и <i>x</i>₂,  <i>x</i>₁ ≠ <i>x</i>₂,  а некоторое число является корнем уравнения  <i>y</i>² + 2<i>x</i>₁<i>y</i> + 2<i>x</i>₂ = 0  и корнем уравнения  <i>z</i>² + 2<i>x</i>₂<i>z</i> + 2<i>x</i>₁ = 0.  Найти <i>b</i>.

Рассмотрим графики функций  <i>y = x</i>² + <i>px + q</i>,  которые пересекают оси координат в трёх различных точках.

Докажите, что все окружности, описанные около треугольников с вершинами в этих точках, имеют общую точку.