Задача
Пусть известно, что все корни некоторого уравнения x3 + px2 + qx + r = 0 положительны. Какому дополнительному условию должны удовлетворять его коэффициенты p, q и r для того, чтобы из отрезков, длины которых равны этим корням, можно было составить треугольник?
Решение
Пусть u, v, w – корни нашего уравнения. Условие эквивалентно неравенству (v + w – u)(u + w – v)(u + v – w) > 0. Но
(v + w – u)(u + w – v)(u + v – w) = (– p – 2u)(– p – 2v)(– p – 2w) = – p3 – 2(u + v + w)p2 – 4(uv + uw + vw)p – 8uvw =
= – p3 + 2p3 – 4pq + 8r = p3 – 4pq + 8r.
Ответ
p3 – 4pq + 8r > 0.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет