Олимпиадные задачи из «параграф 5. Теорема Виета»

Задача 178588 • Сложность: 2 • 9-11 класс

Решить в натуральных числах систему

x + y = zt,

z + t = xy.

Задача 176440 • Сложность: 2 • 8-10 класс

Решить систему:

x + y + z = a,

x² + y² + z² = a²,

x³ + y³ + z³ = a³.

Многочлены Алгебраические уравнения и системы уравнений Методы решения задач с параметром

Задача 173623 • Сложность: 2 • 9-11 класс

Какому условию должны удовлетворять коэффициенты a, b, c уравнения x³ + ax² + bx + c, чтобы три его корня составляли арифметическую прогрессию?

Безбородников М. Ф. Многочлены Последовательности

Задача 161047 • Сложность: 2 • 10-11 класс

В каком из двух уравнений сумма квадратов корней больше

а) 4x3 – 18x2 + 24x = 8, 4x3 – 18x2 + 24x = 9;

б) 4x3 – 18x2 + 24x = 11, 4x3 – 18x2 + 24x = 12?

Многочлены Производная

Задача 161045 • Сложность: 2 • 10-11 класс

Пусть a, b, c – стороны треугольника, p – его полупериметр, а r и R – радиусы вписанной и описанной окружностей соответственно. Составьте уравнение с коэффициентами, зависящими от p, r, R, корнями которого являются числа a, b, c. Докажите равенство <div align="center"><img src="/storage/problem-media/61045/problem_61045_img_2.gif"></div>

Многочлены Планиметрия

Задача 161044 • Сложность: 2 • 8-10 класс

При каких a и b уравнение x3 + ax + b = 0 имеет три различных решения, составляющих арифметическую прогрессию?

Многочлены Последовательности

Задача 161043 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Найдите зависимость между коэффициентами кубического уравнения ax3 + bx2 + cx + d = 0, если известно, что сумма двух его корней равна произведению этих корней.

Многочлены

Задача 161042 • Сложность: 3 • 8-10 класс

Известно, что целые числа a, b, c удовлетворяют равенству a + b + c = 0. Докажите, что 2a4 + 2b4 + 2c4 – квадрат целого числа.

Многочлены

Задача 161041 • Сложность: 3 • 8-10 класс

а) Числа a, b, c являются тремя из четырёх корней многочлена x4 – ax3 – bx + c. Найдите все такие многочлены.

б) Числа a, b, c являются корнями многочлена x4 – ax3 – bx + c. Найдите все такие многочлены.

Многочлены Алгебраические уравнения и системы уравнений

Задача 161040 • Сложность: 3 • 8-11 класс

Решите системы: а) <img align="middle" src="/storage/problem-media/61040/problem_61040_img_2.gif"> б) x(y + z) = 2, y(z + x) = 2, z(x + y) = 3; в) x2 + y2 + x + y = 32, 12(x + y) = 7xy; г) <img align="middle" src="/storage/problem-media/61040/problem_61040_img_3.gif"> д) x + y + z = 1, xy + xz + yz = –4, x3 + y3 + z3</sup&gt...

Многочлены Алгебраические уравнения и системы уравнений

Задача 161039 • Сложность: 3 • 9-11 класс

а) Известно, что x + y = u + v, x2 + y2 = u2 + v2.

Докажите, что при любом натуральном n выполняется равенство xn + yn = un + vn. б) Известно, что x + y + z = u + v + t, x2+y2+z2=u2+v2+t2, x3+...

Многочлены

Задача 161038 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Пусть известно, что все корни некоторого уравнения x3 + px2 + qx + r = 0 положительны. Какому дополнительному условию должны удовлетворять его коэффициенты p, q и r для того, чтобы из отрезков, длины которых равны этим корням, можно было составить треугольник?

Многочлены Планиметрия

Задача 161036 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Известно, что x1, x2, x3 – корни уравнения x3 – 2x2 + x + 1 = 0.

Составьте новое уравнение, корнями которого были бы числа y1 = x2x3, y2 = x1x3, y3 = x1x2.

Многочлены

Задача 161035 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Постройте многочлен, корни которого равны квадратам корней многочлена x3 + x2 – 2x – 1.

Многочлены

Задача 161034 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Найдите все значения параметра a, при которых корни x1, x2, x3 многочлена x3 – 6x2 + ax + a удовлетворяют равенству

(x1 – 3)3 + (x2 – 3)3 + (x3 – 3)3 = 0.

Многочлены Методы решения задач с параметром Производная

Задача 161032 • Сложность: 2 • 9-11 класс

Числа x, y, z удовлетворяют системе

Докажите, что хотя бы одно из этих чисел равно a.

Многочлены

Задача 161031 • Сложность: 2 • 8-10 класс

Известно, что a + b + c = 0, a2 + b2 + c2 = 1. Найдите a4 + b4 + c4.

Многочлены

Задача 161030 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Выразите через элементарные симметрические многочлены следующие выражения:

а} (x + y)(y + z)(x + z);

б} x3 + y3 + z3 – 3xyz;

в} x3 + y3;

г) (x2 + y2)(y2 + z2)(x2 + z2);

д) <img align="middle" src="/storage/prob...

Многочлены

Олимпиадные задачи из источника «параграф 5. Теорема Виета»

Категории

параграф 5. Теорема Виета

Фильтры

Фильтры

Олимпиадные задачи из источника «параграф 5. Теорема Виета»

Категории

параграф 5. Теорема Виета

Фильтры

Фильтры

Подтверждение удаления