Задача
а) Известно, что x + y = u + v, x2 + y2 = u2 + v2.
Докажите, что при любом натуральном n выполняется равенство xn + yn = un + vn. б) Известно, что x + y + z = u + v + t, x2+y2+z2=u2+v2+t2, x3+y3+z3=u3+v3+t3. Докажите, что при любом натуральномnвыполняется равенство xn + yn + zn = un + vn + tn.
Решение
б) Докажем, что тройки {x, y, z} и {u, v, t} совпадают. Для этого достаточно проверить, что они являются тройками корней одного и того же кубического многочлена, то есть (согласно обратной теореме Виета), что xy + yz + xz = uv + vt + ut и xyz = uvt. Но это следует из равенств 2(xy + yz + xz) = (x + y + z)2– (x2+y2+z2) и 3xyz= (x3+y3+z3) – (x + y + z)((x2+y2+z2) – (xy + yz + xz)) (см. задачу161005г).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь