Олимпиадные задачи по теме «Числовые последовательности» для 10 класса
Числовые последовательности
НазадПоследовательность чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ... задана условиями <i>a</i><sub>1</sub> = 1, <i>a</i><sub>2</sub> = 143 и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116589/problem_116589_img_2.gif"> при всех <i>n</i> ≥ 2.
Докажите, что все члены последовательности – целые числа.
Последовательность<i> a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>,.. </i>такова, что<i> a<sub>1</sub><img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115397/problem_115397_img_2.gif"></i>(1<i>,</i>2)и<i> a<sub>k+</sub></i>1<i>=a<sub>k</sub>+<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115397/problem_115397_img_3.gif"> </i>при любом натуральном <i> k </i>. Докажите, что в ней не может существовать более одной пары членов с целой суммой.
Последовательность(<i>a<sub>n</sub></i>)задана условиями<i> a<sub>1</sub>= </i>1000000,<i> a<sub>n+</sub></i>1<i>=n</i>[<i><img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111805/problem_111805_img_2.gif"></i>]<i>+n </i>. Докажите, что в ней можно выделить бесконечную подпоследовательность, являющуюся арифметической прогрессией.
По данному натуральному числу <i>a</i><sub>0</sub> строится последовательность {<i>a<sub>n</sub></i>} следующим образом <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110036/problem_110036_img_2.gif"> если <i>a<sub>n</sub></i> нечётно, и <sup><i>a</i><sub>0</sub></sup>/<sub>2</sub>, если <i>a<sub>n</sub></i> чётно. Докажите, что при любом нечётном <i>a</i><sub>0</sub> > 5 в последовательности {<i>a<sub>n</sub></i>} встретятся сколь угодно большие числа.
Пусть<i> M={x<sub>1</sub>, .., x</i>30<i>} </i>– множество, состоящее из 30 различных положительных чисел;<i> A<sub>n</sub> </i>(1<i><img src="/storage/problem-media/109798/problem_109798_img_2.gif"> n<img src="/storage/problem-media/109798/problem_109798_img_2.gif"> </i>30) – сумма всевозможных произведений различных<i> n </i>элементов множества<i> M </i>. Докажите, что если<i> A</i>15<i>>A</i>10, то<i> A<sub>1</sub>></i>1.
Последовательность натуральных чисел <i>a<sub>n</sub></i> строится следующим образом: <i>a</i><sub>0</sub> – некоторое натуральное число; <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> = ⅕ <i>a<sub>n</sub></i>, если <i>a<sub>n</sub></i> делится на 5;
<i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> = [<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109784/problem_109784_img_2.gif"> <i>a<sub>n</sub></i>], если <i>a<sub>n</sub></i> не делится на 5. Докажите, что начиная с некоторого члена последовательность <i>a<sub>n</sub></i> возрастает.
Найдите все бесконечные ограниченные последовательности натуральных чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ..., для всех членов которых, начиная с третьего, выполнено <div align="center"><img src="/storage/problem-media/109692/problem_109692_img_2.gif"></div>
Существует ли последовательность натуральных чисел, в которой каждое натуральное число встречается ровно один раз и при этом для любого <i>k</i> = 1, 2, 3, ... сумма первых <i>k</i> членов последовательности делится на <i>k</i>?
Докажите, что для любого натурального числа <i>a</i><sub>1</sub> > 1 существует такая возрастающая последовательность натуральных чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ...,
что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109599/problem_109599_img_2.gif"> делится на <i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub> + ... + <i>a<sub>k</sub></i> при всех <i>k</i> ≥ 1.
На плоскости отмечены две точки на расстоянии 1. Разрешается, измерив циркулем расстояние между двумя отмеченными точками, провести окружность с центром в любой отмеченной точке с измеренным радиусом. Линейкой разрешается провести прямую через любые две отмеченные точки. При этом отмечаются новые точки – точки пересечения построенных линий. Пусть Ц(<i>n</i>) – наименьшее число линий, проведение которых одним циркулем позволяет получить две отмеченные точки на расстоянии <i>n</i> (<i>n </i> – натуральное). ЛЦ(<i>n</i>) – то же, но циркулем и линейкой. Докажите, что последовательность <img align="middle" src="/storage/problem-media/109598/problem_109598_img_2.gif"> неограничена.
Для заданных натуральных чисел <i>k<sub>0</sub></i><<i>k<sub>1</sub></i><<i>k<sub>2</sub></i> выясните, какое наименьшее число корней на промежутке <nobr>[0; 2π)</nobr> может иметь уравнение вида sin<i>(k<sub>0</sub>x</i>)+<i>A<sub>1</sub></i>·sin(<i>k<sub>1</sub>x</i>) +<i>A<sub>2</sub></i>·sin(<i>k<sub>2</sub>x</i>)=0где<i>A<sub>1</sub></i>,<i>A<sub>2</sub></i>– вещественные числа.
Последовательность натуральных чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i>, ... такова, что для каждого <i>n</i> уравнение <i>a</i><sub><i>n</i>+2</sub><i>x</i>² + <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub><i>x</i> + <i>a<sub>n</sub></i> = 0 имеет действительный корень. Может ли число членов этой последовательности быть
а) равным 10;
б) бесконечным?
Рассматривается последовательность слов, состоящих из букв "A" и "B". Первое слово в последовательности – "A", <i>k</i>-е слово получается из (<i>k</i>–1)-го с помощью следующей операции: каждое "A" заменяется на "AAB", каждое "B" – на "A". Легко видеть, что каждое слово является началом следующего, тем самым получается бесконечная последовательность букв: AABAABAAABAABAAAB...
а) На каком месте в этой последовательности встретится 1000-я буква "A"?
б) Докажите, что эта последовательность – непериодическая.
При каком натуральном <i>K</i> величина <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/97900/problem_97900_img_2.gif"> достигает максимального значения?
<i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ... – возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что <i>a<sub>a<sub>k</sub></sub></i> = 3<i>k</i> для любого <i>k</i>.
Найти а) <i>a</i><sub>100</sub>; б) <i>a</i><sub>1983</sub>.
Доказать, что последовательность<i>x</i><sub>n</sub>= sin(<i>n</i><sup>2</sup>) не стремится к нулю при<i>n</i>, стремящемся к бесконечности.
При каком значении<i>K</i>величина<i>A</i><sub>k</sub>=${\dfrac{19^k+66^k}{k!}}$максимальна?
Числа 1, 2, 3, ..., 101 выписаны в ряд в каком-то порядке.
Докажите, что из них можно вычеркнуть 90 так, что оставшиеся 11 будут расположены по их величине (либо возрастая, либо убывая).
Что больше: 300! или 100<sup>300</sup>?
Дан треугольник <i>C</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>2</sub><i>O</i>. В нём проводится биссектриса <i>C</i><sub>2</sub><i>C</i><sub>3</sub>, затем в треугольнике <i>C</i><sub>2</sub><i>C</i><sub>3</sub><i>O</i> – биссектриса <i>C</i><sub>3</sub><i>C</i><sub>4</sub> и так далее.
Докажите, что последовательность величин углов γ<i><sub>n</sub> = C</i><sub><i>n</i>+1</sub><i>C<sub>n</sub>O</i> стремится к пределу, и найдите этот предел, если <i>C</i><sub>1</sub><i>OC</i><...
Дан квадрат со<nobr>стороной 1.</nobr>От него отсекают четыре<nobr>уголка —</nobr>четыре треугольника, у каждого из которых две стороны идут по сторонам квадрата и составляют 1/3 их длины. С полученным 8-угольником делают то же самое: от каждой вершины отрезают треугольник, две стороны которого составляют по 1/3 соответствующих сторон 8-угольника, и так далее. Получается последовательность многоугольников (каждый содержится в предыдущем). Найдите площадь фигуры, являющейся пересечением всех этих многоугольников (то есть образованной точками, принадлежащими всем многоугольникам).
Двое играют в такую игру. Один задумывает натуральное<nobr>число <i>n</i>,</nobr>а другой задаёт вопросы типа «верно ли, что<i>n</i>не<nobr>меньше <i>x</i>»</nobr><nobr>(число <i>x</i></nobr>он может выбирать по своему усмотрению) и получает ответы «да» или «нет». Каждой возможной<nobr>стратегии <i>T</i></nobr>второго игрока сопоставим функцию<i>f</i><sub><i>T</i></sub>(<i>n</i>), равную числу вопросов (до отгадывания), если было задумано<nobr>число <i>n</i>.</nobr>Пусть, например,<nobr>стратегия <i>T</i></nobr>состоит в том, что сначала задают вопросы: «верно ли, что<i>n</i>не...
Хозяин обещает работнику платить в среднем <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73680/problem_73680_img_2.gif"> рублей в день. Для этого каждый день он платит 1 или 2 рубля с таким расчётом, чтобы для любого натурального <i>n</i> выплаченная за первые <i>n</i> дней сумма была натуральным числом, наиболее близким к <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73680/problem_73680_img_3.gif"> Вот величины первых пяти выплат: 1, 2, 1, 2, 1. Докажите, что последовательность выплат непериодическая.
В трапеции<i>ABCD</i>с основаниями<nobr><i>AB</i> = <i>a</i></nobr>и<nobr><i>CD</i> = <i>b</i></nobr>проведён отрезок<i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>, соединяющий середины диагоналей.<nobr>В полученной</nobr>трапеции проведён отрезок<i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub>, тоже соединяющий середины диагоналей, и так далее. Может ли в последовательности длин отрезков<i>AB</i>,<i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>,<i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub>,... какое-то число встретиться...
Кощей придумал для Ивана-дурака испытание. Он дал Ивану волшебную дудочку, на которой можно играть только две ноты – до и си. Для прохождения испытания Ивану нужно сыграть какую-нибудь мелодию из 300 нот на свой выбор. Но до того, как он начнёт играть, Кощей выбирает и объявляет запретными одну мелодию из пяти нот, одну – из шести нот, ..., одну – из 30 нот. Если в какой-то момент последние сыгранные ноты образуют одну из запретных мелодий, дудочка перестаёт звучать. Сможет ли Иван пройти испытание, какие бы мелодии Кощей ни объявил запретными?